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Soit, en effet, N le nombre donné, astreint, ainsi que 
Je l’ai dit, aux seules conditions d’être impair et non ter- 
miné par un à. Si l’on convertit < en fraction périodique, 
et si l’on désigne la période par P, on aura, comme on 
salt, 
d’où 
999. .... — PN. 
Si donc le nombre N n’est pas divisible par 9, il faut que 
la période P le soit; dans ce cas, nommons le quotient 
de P par 9; on déduit de l'égalité précédente 
1H UE ON 
et l’on voit que Q est le facteur qu’il s'agissait d'obtenir. 
Quant au cas où N serait un multiple de 3 ou de 9, et 
où conséquemment P pourrait ne pas être divisible par 
9, il est clair qu’on n’aura qu’à prendre, au lieu de P, la 
réunion de trois ou de neuf périodes, de manière que l’en- 
semble soit divisible par 9. 
Prenons maintenant quelques exemples. 
Supposons que le nombre donné soit 7; on trouvera 
2 0,142857 1492887... : le facteur cherché sera 
done 7 — 15873; et, en effet, 13873 multiplié par 7 
donne 111111; le double de 15873, ou 51746, multiplié 
de même par 7 donne 2222929; etc. 
Si le nombre donné est 3, on a=— 0,55535 ……; ici la 
période est divisible par 3, mais non par 9; il faut donc 
diviser par 9 la réunion de trois périodes, c’est-à-dire le 
nombre 333, et le quotient 37 sera le facteur en question. 
