CONSIDERAZIONI 

 sulla trasformazione delle curve a flessione costante 

 a centro di curvatura ideale in Geometria iperbolica 



NOTA 



DEL 



Prof. ftMILeHRE RRZZRBem 



letta nella Sessione del 28 Maggio 1916. 



È noto che se per ogni punto di una curva a flessione costante si conduce normal- 

 mente ad essa un segmento di lunghezza arbitraria, ma fissa e che sia inclinato sulla 

 normale principale di un angolo soddisfacente ad una certa equazione differenziale del 

 tipo di Ri coati, il luogo degli estremi di quel segmento è una curva della medesima 

 flessione costante, la quale è altresì traiettoria isogonale dei cerchi di curvatura della 

 superficie canale, che ha per asse la curva primitiva e per raggio il segmento consi- 

 derato (*). 



Contenendo l' angolo surricordato una costante arbitraria, è chiaro che influite sono 

 le curve che si ottengono in questo modo su ognuna di tali superficie canali, dovendosi 

 però avvertire che, mentre l' indicata costruzione è sempre reale qualora lo spazio sia 

 ellittico od euclideo, non lo è più se lo spazio è iperbolico (di curvatura — 1), quando 

 la flessione della curva sia minor d' uno. Tuttavia sussiste ancora la proprietà che tutte 

 le traiettorie isogonali dei cerchi di curvatura di ogni superficie canale ad asse imma- 

 ginario sono curve della medesima flessione costante (< 1). 



Per la dimostrazione di questa proprietà converrà dapprima esaminare il caso che 

 l'asse della superficie sia reale, con che # verremo a confermare per altra via i risultati 

 surricordati e nel tempo stesso a renderci ragione dell' opportunità del metodo. 



Partendo dunque dall'ipotesi che lo spazio sia iperbolico e che l'asse della super- 

 ficie canale che si considera sia reale, riferiamo la superficie stessa ai suoi cerchi di 

 curvatura v (geodetiche) e alle loro traiettorie ortogonali u, per modo che l'elemento 

 lineare relativo avrà la forma 



ds 2 = die -+- Gdv 2 , 



(*) Sulle superficie nelle quali i circoli osculatori delle linee di curvatura di un sistema tagliano 

 un piano fisso sotto un angolo costante, Memorie di questa R. Accademia, Serie VII, Tomo I, p. 114. 



Serie VII. Tomo III. 1915-1916. 26 



