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Quanto alla 3. a delle (8), essa dà per V un valore costante che determiniamo sotto 

 forma più semplice eliminando dapprima a tra essa e la (9), con che si ha 



,„ / senh 2 a 70 \ 2 tgh 2 b / senh 2 a\ „ „ „ 



tgfrb ( 1 -K- — cos/ra ) -\ -5- 1 -5- ) V 1 — sen/r« cos/ra = 



\ senno / sen ha \ senno/ 



ovvero 



igh 2 b ( — --s L-57 ) V 2 = senh 2 a cosh 2 a — igh 2 b ( senh 2 a -\ 5- ) 



\senha senno/ \ senhrb / 



eguaglianza che si semplifica ulteriormente nella 



tgh 2 b (senh 2 b — senh 2 a) V 2 = senh 4 a (cosh 2 asenh 2 b — senh 2 acosh 2 b) ; 

 ma 



cosh 2 asenh 2 b — senh 2 acosh 2 b = (1 -+- senh 2 à) senh 2 b — senh 2 a (1 -+- senh 2 b) = 



= senh 2 b — senh 2 a , 

 sicché sostituendo si avrà 



tgh 2 b . F 2 =sen^ 4 a, 



da cui 



sen/i 2 a 



V = . 



tghb 



Determinata così la V ed osservata la (4), avremo corrispondentemente per \/ G il valore 



.— senhra I u \ 



l/ G = — ;-r-cos ( — 1- V. ) — senhacosha 



tghb \sen ha V 



in cui figura una funzione arbitraria (la V) come è naturale ; giacche dovendo l'asse 

 della superficie essere una curva soltanto a flessione costante, si può prendere ad ar- 

 bitrio la torsione. 



Seguendo lo stesso procedimento, passiamo ora a considerare il caso che l'asse della 

 superficie sia immaginario, supposto sempre lo spazio iperbolico. 



La superficie in questione ce la possiamo rappresentare come caratterizzata dalla 

 proprietà di avere un sistema di linee di curvatura formato da geodetiche della mede- 

 sima flessione costante (minor d'uno). Allora, indicando con v il relativo parametro e 

 con u quello delle trajettorie ortogonali, avremo pel quadrato dell'elemento lineare della 

 superficie la solita espressione 



ds 2 = du 2 -+- Gdv 2 



ove anche qui determineremo G ponendo la condizione che le trajettorie isogonali dei 

 cerchi v siano curve della stessa flessione costante (< 1). 



Essendo — <C 1 , potremo porre 

 P2 



— = igha (a = cost. e ) 

 P2 



