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 Dovendo questa eguaglianza ridursi all' identità 



cosh 2 U — senh 2 U = 1 , 

 dovranno sussistere le altre 



(11) tg/* 2 & . V 2 — — ~ Vi — tgh 2 a V 2 = tgh 2 a V 2 -+- — ~ V 2 — tgh 2 b V\ =. 



cosh 4 a cos/ra 



= (senh 2 a -+- sen 2 af — senh 2 acosh 2 atgh 2 b , 



■> 

 son~(7 



(11*) tgh 2 b -s tg^ 2 a = , senhha cosha tgh 2 b — tgha (senh 2 a -+- sen 2 0") = 



cos/ra 



ma poiché queste ultime danno concordemente 



„, sen 2 o'H-senA 2 a sen 2 ff -t- cosh 2 a — 1 cosV 



tg^& = -2 = -H = 1 



cosh 2 a cosh 2 a cosila 



od anche 



1 cosV 



cos h 2 b cosh 2 a ' 



se ne conclude che fra a, b e a avrà luogo la relazione 



( 1 2) cosha = coshb coso - 



perfettamente analoga alla (9). Quanto alle (11), la l. a si semplifica subito nelle (12); 

 mentre l'altra, eliminando tra essa e la (12) la a, diventa 



(tgh 2 6 — tgh 2 a) V 2 — ( — -, s- ) 7? = cosh 2 a tgh 2 b (cosh 2 a igh 2 b — ■ senh 2 a) 



\cosh 4 a coshb/ 



che equivale alla 



(senh 2 bcosh 2 a — senh 2 acosh 2 b) V 2 •+- (cosh 2 a — cosh 2 b) V\ = 



== cosh^atgh^b (cosh 2 asenh 2 b — senh 2 acosh 2 b) ; 

 ma 



senh 2 bcosh 2 a — senh 2 acosh 2 b = cosh 2 b — cos/ra , 



per conseguenza la precedente si semplifica nella 



V 2 — V\— cosh 4 atgh 2 b 



che è la relazione cui debbono soddisfare le due funzioni V e V x che entrano nell'espres- 

 sione (10) di G, e che ne lascia perciò arbitraria una. 



Dimostrata così l'esistenza di infinite curve a flessione costante (■< 1), come trajet- 

 torie isogonali delle linee di curvatura di una medesima superficie canale, la questione 

 è ora ridotta a realizzare una costruzione che permetta il passaggio dall'una all'altra di 

 queste curve ; e poiché nel nostro caso l'asse della superficie è ideale, la corrispondente 

 costruzione (reale) dovrà risultare dalla composizione di due immaginarie (coniugate). 



