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 Questo problema è uno di quelli che si dicono inversione d' integrale definito e 

 la funzione A{y — x) ne è la funzione caratteristica ; ora le forinole testé trovate 

 dimostrano come esso coincida con altri problemi funzionali. Infatti , secondo che 

 si prende per A{<$) 1' una o l'altra delle sue espressioni (10)', (11) o (13) si ha 

 da risolvere uno dei seguenti problemi : 



aj Risolvere V equazione differenziale lineare a coefficienti costanti e con infiniti 

 termini : 



oo 



(15) S.J0 W (*) =/(*), 



oppure : 



bj Trovare lo sviluppo della funzione data f{x) in serie 



f(x) = 2 cA n {x) 



ordinata secondo i polinomi di Appetì di un dato sistema, 



o infine : 



e) Sviluppare la funzione data f(x) in serie ordinata per le derivate successive 

 di una data funzione A( — x) . 



§ 2. - Risoluzione formale del problema. Moltiplicità di soluzioni. 



4. Il problema d' inversione d' integrale definito espresso dall' equazione (14) 

 ci conduce adunque nei due casi considerati , alla risoluzione del problema aj, 

 espresso dall' equazione (15). Ora, questo problema è più generale di quello dato 

 dalla equazione (14), poiché non solo ogni equazione (14) dà luogo ad una equa- 

 zione della forma (15), ma anche perchè la serie 



ni T 



potrebbe convergere anche se la A(z) fosse una serie sempre divergente, epperciò 

 senza significato. Converrà dunque cercare prima la soluzione dell' equazione (1 5) : 

 ora questa si risolve formalmente senza difficoltà col seguente metodo : 

 Si ponga anzitutto 



(16) a(*) = 2^-, 



o ni 



