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 si determini poi una funzione %(t) ed una linea d' integrazione (À) tali che sia 



(17) f % (t)^dt=f(x). (*) 



W 



La soluzione formale dell' equazione (15) sarà data da 



(18) (p(x) =f 



a(t) 



c^ 



poiché derivando si ottiene 



<P**(x) =J 



%(ty?«Pdt 



a{t) 



che sostituita nell' equazione (15) la rende formalmente verificata. 



5. Risoluta così formalmente 1' equazione (15), in cui si contiene 1' inversione 

 d' integrale che abbiamo preso a studiare, dobbiamo cercare in quali casi quella 

 soluzione formale dia luogo ad una soluzione effettiva ; ora noi faremo questa ri- 

 cerca per il caso che la A(z) abbia una forma speciale, colla quale la (14) si tras- 

 forma in quella equazione (1) la cui soluzione forma il principale oggetto di 

 questo lavoro. 



Ma prima di procedere in questa via, conviene osservare che l'equazione (15) 

 è suscettibile di una molti plicità di soluzioni. Infatti la (18) ci definisce una fun- 

 zione che soddisfa formalmente al problema per qualunque linea d' integrazione 

 per la quale valga la (17). Se dunque prendiamo due di queste linee, fra cui sia 

 compreso qualche zero della funzione a(t) , si prevede che si otterranno due fun- 

 zioni (p(x) differenti e che per conseguenza il numero e le relazioni fra le varie 

 soluzioni dipenderanno dagli zeri di a(t) . 



Ciò è confermato dal fatto che la differenza fra due soluzioni della (15) sod- 

 disfa all' equazione 



(19) 2 -; <pW(x) = , 



la quale, come è ben noto, ammette 1' integrale sotto la forma 



(20) 2 C'/v* 



dove le sono radici, prese in numero arbitrario , della funzione a(f) , e le C y 

 sono costanti arbitrarie. 



(*) Per questa determinazione, V. la mia Memoria : Della trasformazione di Laplace e di alcune 

 sue applicazioni, Mem. della R. Accademia delle Scienze di Bologna. S. IV, T. Vili, 1887. 

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