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 Mostreremo ora come questa soluzione formale dia anche la soluzione effettiva, 

 del problema in due casi notevoli, il primo dei quali è già stato considerato dal 

 Sig. Halphen, benché sotto un punto di vista diverso dal nostro. 



§ 4. - Caso di una funzione trascendente intera ; il problema del- 

 l' Halphen. 



7. Suppongasi che la funzione data f(x) sia intera (trascendente in generale),, 

 e posto 



(22) f{x) = 2 *g , 



n! 



suppongasi che sia 



dove p è un numero positivo ; il che equivale a dire che la serie 



converge fuori del cerchio di centro e di raggio p . Indicando con (X) una linea 

 chiusa tutta esterna al cerchio p , si verifica immediatamente che 



(23) f{x) = ~ f % (t)é 



dt . 



w 



Ne consegue che per ogni tale funzione f(x) V espressione (18) rappresenta una 

 funzione (p(x) trascendente intera che dà una soluzione non più soltanto formale, 

 ma effettiva dell' equazione (15). È necessario avvertire che la linea (A) non deve 

 passare per nessuna radice della a(t) . 



Se si varia la linea d' integrazione (À) , la soluzione <p(x) varierà ogni qual- 

 volta la linea d' integrazione oltrepasserà una radice della a(t) , per modo che la 

 differenza fra due soluzioni sarà , come si scorge facilmente , una funzione della 

 forma (20). 



Riassumendo, 1' espressione (18) ci dà in questo caso, per ogni linea (À) esterna 

 al cerchio p e che non passi per qualche radice di a(t) , una funzione (trascen- 

 dente in generale) intera che risponde alle seguenti questioni : 



a) Risoluzione dell'equazione (15), dove f(x) è della forma (22). 



