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 b) Inversione dell' integrale 



(8) f{x) = j Aiy — *)<p(y)dy 



() 



rispetto alla funzione <fi , (l) essendo una linea chiusa qualunque esterna al 

 cerchio B. 



cj Sviluppo della funzione f(x) in serie di polinond di Appell. La (12) mostra 

 che il coefficiente di A n (x) in questa serie è quello di x n nello sviluppo di <p(x) 

 in serie di potenze. 



La differenza fra due soluzioni della (15; dà una soluzione dell' equazione CI 9) 

 ed uno sviluppo dello zero in serie di polinomi A n (x) . 



8. Merita speciale menzione il caso in cui le radici di a(t) , ad eccezione della 

 radice nulla, sono maggiori di p in valore assoluto, nel qual caso si può descri- 

 vere una linea (A) chiusa, tutta esterna al cerchio p e che non contiene nel suo 

 interno alcuna radice di a(t) diversa da zero. Indicherò con $(x) la funzione (p(x) 

 che si ottiene dalla (18) prendendo (A') come linea d'integrazione. Questa fun- 

 zione $(#) presenta notevoli relazioni di reciprocità colla funzione data f(x). 



e*' 



Infatti, — — non contenendo nel suo sviluppo per 1' intorno di t = che un nu- 

 mero finito di potenze negative di #, seppur ne contiene, si avrà 



(24) *L = -1?*£Ù 



a(t) n =-m n! 



dove le Ajx) costituiscono il sistema di polinomi di Appell inversi di AJx) . Ri- 

 cordando ora che i coefficienti di f(x) sono dati, per la (23), da 



(V) 

 si trova, sostituendo lo sviluppo (24) nella espressione (18) di $(#) : 



oo T. 



$(*) = 2 -; A n (x) . 



Così pure, sostituendo nella (18) lo sviluppo 



1 



si trova 



= 2a f. 

 a(t) _„ " ' 



oo 



<&(*) = 2 &f n) {x) 







