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 Giovandosi di queste osservazioni, si può comporre il seguente specchio che pone 

 in evidenza le proprietà reciproche di f(x) e <t>(x) : 



J ' o n! w o n! 



oo oc* 



f(x) = 2 c n A n (x) <&(*) = 2 c n x n , 



at n 



ni a(t) n ' 



oc 



f{x) = 2 LW ^ _ j ^ /W(i) _ 



9. In ciò che precede la _4(.e) si è supposta affatto qualunque, come a § 1. 

 Se ora diamo ad A(z) la forma speciale (21), le funzioni <p(x) ora trovate risol- 

 vono 1' equazione (1) per ogni f(x) della forma (22). Quando il numero p è 

 minore della minima radice di a(t) in valore assoluto, eccettuata sempre la radice 

 nulla, si ottiene una soluzione $(a) che è legata ad f(x) dalle proprietà espresse 

 nello specchio (A). Queste funzioni $(a;) sono quelle considerate dal Sig. Halphen (*) ; 

 osservando che si ha per la (8) 



onde 



m 



k n = 2 *„*<->(«,) , 



v = l 



esse sono tali che 



(25) $(x) = I (h/b*\a t ) -+- h s W n >{a s ) H h hj>"\aj ) ^ . 



che è la proprietà assunta dal Sig. Halphen come punto di partenza. 



§ 5. - Caso di una funzione regolare fuori di un cerchio. 



10. Preme ttiamo 1' enunciato di due proposizioni ausiliari di cui dovremo fare 

 uso in questo paragrafo. (**) 



(*) Coniptes-rendus de l'Académie des Sciences de Paris, t. XCIII, p. 781, 1881. 



(**) Per la dimostrazione del primo teorema, v. Scheeffer, Ueb'r emige bestimmtc Integrateti, ecc. 

 p. 5 (Habilitationsscbrift, Berlin, 1883). La dimostrazione dello Scheeffer si potrebbe però note- 

 volmente semplificare facendo uso di un teorema del Prof. Morera (Rendiconti del E. Istituto 

 Lombardo, s. II, t. XIX). Per la dimostrazione del secondo, v. la mia Memoria già citata : Della 

 trasformazione di Laplace, § 5. 



