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 Teorema 1° - Quando una funzione analitica %(t) soddisfa alla condizione 



(a) lini %{f)e- xt = 



t=oo 



per t reale e positivo e per ogni x la cui parte reale è maggiore di un numero 

 reale p , 1' espressione 



oo 



(b) f %(f)<r-**dl 



rappresenta per quei valori di x, una funzione aualitica regolare. 

 Teorema 2° - Se 



/(*) = ? sài 



* 



è una serie di potenze convergente fuori di un cerchio di centro e di raggio p , 

 e si pone 



*«> = fi- 



la funzione %(t) soddisfa alla proprietà (a) e 1' espressione (6) coincide, per i valori 

 di x la cui parte reale è maggiore di p , colla f(x) stessa. 



11. Riprendiamo ora l'equazione (1) e supponiamo che la funzione data f(x) 

 del secondo membro di questa equazione sia regolare fuori del cerchio di centro 

 e di raggio p e nulla all' infinito, epperciò sviluppabile in una serie 



(26) f(x) = 2 -%, 



convergente fuori del cerchio stesso. Per il teorema 2°, e posto %(t) eguale alla 



k f 

 funzione intera 2 -^ , si ha 

 ni 



00 



(27) f(x)=f % (t)e-«*dt, 







e la soluzione dell' equazione (1) è data formalmente dalla forinola (18)' che nel 

 nostro caso diviene : 



00 

 



