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12. Si tratta ora di intraprendere un esame più attento della espressione tro- 

 vata, e cioè di vedere prima se la espressione (28) rappresenta, e per quali valori 

 di #, una funzione analitica che dia la soluzione effettiva dell'equazione (1): poi, 

 dimostrato che la (28) rappresenta in un certo campo del piano x una funzione ana- 

 litica, di studiare se la funzione così rappresentata si possa estendere oltre al campo 

 dei valori di x in cui è definita dall' espressione (28). Ci è necessario pertanto di 

 entrare in alcune considerazioni particolareggiate onde poter rispondere a tali 

 domande. 



Indicheremo con B(a) la parte reale di un numero complesso a qualunque ; 

 rappresenteremo con u •+- tv la variabile complessa x , e con L a t la retta che 

 nel piano di questa variabile, e riferita agli assi u e v , è rappresentata dall' equa- 

 zione in forma normale 



u cos a -+- v sen a — à = . 



Infine supporremo per ora che la a(t) non sia nulla per t = . 



Ciò posto, dimostreremo le seguenti proposizioni : 



k t n 

 aj Essendo %(t) = 2 -2-r- con k n ^ p n , si potrà determinare x in modo che 



(29) X,®*-* 



tenda a zero quando t cresce indefinitamente nella direzione di argomento qua- 

 lunque fi . 



Infatti, posto t = t(cosy-i-isen(j,) ed essendo 



dove p } è maggiore di p per tanto poco quanto si vuole, viene 



(30) | %{t)e~ xt | < Me* p > ~ u cos *-*- v sen tì , 



ed affinchè il limite di questa espressione sia zero basta prendere u in modo che 

 sia 



« cos (jl — v sen y >• p t > p . 



Il significato geometrico di questa diseguaglianza si è che x deve trovarsi in quello 

 dei semipiani determinati dalla retta -£'_ ( i iP nel quale non è l'origine: indicheremo 

 questo semipiano con P_ ^ p . 



b) Ritenendo le stesse notazioni, se x è compreso nella regione comune ai 

 semipiani P-|i-, p e P_ (1 .. iP e t va all' infinito con un argomento qualunque y, com- 

 preso fra y\ e y," , l'espressione (29) tende a zero uniformemente. 



