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e quindi, per x tale che R(x — a t ) > p, cioè preso x nel semipiano Fo,p-t-«,j essa 

 tende a zero e (teor. 1°) la (28) rappresenta per quei valori di x una funzione 

 analitica regolare, che è una soluzione effettiva dell' equazione (l). 



Se invece la direzione dell'asse reale positivo contiene qualche radice della a( — t), 

 oppure è una direzione limite, si considera in luogo della (28) 1' espressione 







Eir^ 1 



V 



dove la semiretta di argomento a non contiene radici di a( — f) né è direzione 

 limite, e si trova come prima che la (28)' rappresenta nel semipiano P—p.,?-*.R(>x,) 

 una funzione analitica regolare che soddisfa alla (I); at indica quella delle aj 

 che ha la minima parte reale. 



Risulta da ciò che la soluzione formale (28) della equazione (1) dà sempre 

 luogo ad una soluzione effettiva. 



14. Dobbiamo ora rispondere all'altra domanda posta in principio del N. 12: 

 come si possa continuare analiticamente la funzione ora trovata fuori del semi- 

 piano in cui essa è rappresentata dalla (28). A questo effetto consideriamo un 

 settore circolare limitato da un arco di cerchio di centro e di raggio r grandis- 

 simo, e da due raggi aventi per argomenti fx e u" ; questi ultimi presi in modo 

 da non essere direzioni-limiti, né comprendere fra essi direzioni-limiti . né alcuna 

 radice di a( — t) . 



y(i)e — xt 

 L' integrale di — esteso al contorno del settore, sarà nullo. Ma la parte 



(XV 



d'integrale esteso all'arco di cerchio si può (N. 12, d) al crescere del raggio r, 

 rendere piccola quanto si vuole : ne risulta 



oo «„, oo •„,, 



r tfpePy—-* F e^'dt r #(Te*")r"" w e*"dz 



J a(— ve*') = ' a(— re l >") 



o o 



Ma la prima di queste espressioni dà una funzione analitica nel semipiano P—v.- t ?-*-R(& s ) 

 e la seconda, nel semipiano P— $,■■,? +.r(«.jì onde nella parte comune ai due semi- 

 piani esse rappresentano la stessa funzione analitica : si può dunque concludere 

 che la espressione del secondo membro ci dà la continuazione analitica < Iella fun- 

 zione rappresentata dal primo. 



15. Se, come nel numero precedente, noi integriamo lungo due semirette di 

 argomenti y! e y," , che non siano, né comprendano fra di loro direzioni-limiti, 

 ma che comprendano però radici della a( — t) (in numero necessariamente finito) 

 che indicheremo con — @ h (h = 1,2,.-.. k), l'integrale esteso al contorno del settore 



