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 17. Abbiamo mantenuta fin qui 1' ipotesi fatta in principio del N. 12, che 

 la a(f) non sia nulla per £ = 0. Quando ciò fosse, t = sarebbe radice di ordine 

 necessariamente finito p , e mentre 1' espressione 



r y(t)e~ xt dt 



o 

 non avrebbe significato, la espressione 



o 



avrebbe un significato nei casi e sotto le condizioni trovate precedentemente, e 

 verificherebbe 1' equazione 



2^ + « v )=/ w («). 



Perciò si può prendere per espressione di (p(x) V integrale indefinito p mo di <fi (x). 

 determinando opportunamente le costanti arbitrarie. 



§ 6. Trascendenti notevoli cui conduce la soluzione trovata. 



18. L' equazione 



m 



2 h v <p(x -+- a v ) = f{x) 



v=0 



dove f(x) è una funzione regolare fuori di un cerchio di centro e di raggio p . 

 ammette come soluzione, per quanto si è visto, 1' espressione 



oo 

 



dove 1' integrazione è estesa lungo una semiretta di argomento fi che non passi 

 per alcuna radice della a( — t) né sia direzione-limite per la o( — t) stessa. L' espres- 

 sione (18) si prende come soluzione se x = non è radice di a{ — t): in caso 

 contrario vale l'osservazione del N. 17. La (18) rappresenta una funzione anali- 

 tica di x per i valori di x posti nel semipiano P—^p+R^) e si può continuare 

 come è stato indicato al N. 14. 



Supponiamo ora che la a( — t) sia sviluppabile in una serie d' esponenziali 



a(— t) = 2 c n er-^t . 



