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 verrà, sostituendo nella (18) e supposta lecita l'integrazione termine a termine: 



(35) ; fts) = 2 cj{x -+- /?„) . 



Allorquando lo sviluppo trovato così formalmente per la (p(x) ha anche un signi- 

 ficato effettivo, si ottiene la soluzione della (1) sotto una forma assai degna di 

 nota, anche per la reciprocità che apparisce fra la (1) e la (35). 



19. Vogliamo ora prendere la funzione a(t) sotto la forma 



(36) a(t) = (1 — h t e a ^){\ — h s e^)....(l — h^ 1 ) . 



In questo caso, le soluzioni delle equazioni (1) corrispondenti ammettono sviluppi 

 della forma (35). Questi sviluppi ci condurranno ad una classe notevole di fun- 

 zioni, nella quale sono contenute certe trascendenti già incontrate dal Sig. Appell 

 per altra via (*) e che danno una interessante generalizzazione delle funzioni 

 Euleriane. 



Nella (36) si suppongano per semplicità tutte le R(a v ) positive: inoltre nessuna 

 delle radici di a(t) sia sull' asse reale. Non sarebbe difficile togliere in tutto od iu 

 parte queste restrizioni, che noi però conserveremo per brevità e perchè esse limi- 

 tano un caso che racchiude già quanto vi è d' essenziale nella teoria che vogliamo 

 adombrare. 



L' espressione (18) prende nel nostro caso la forma 



oo 

 



dove %(t) è una funzione intera come al N. 11 : e ricordiamo che in forza del 

 N. 12 si può assegnare un numero M tale che per ogni x la cui parte reale è 

 maggiore od eguale a p t ~> /? , sia 



oo oo 



( 38 ) f I %(*) I e ~ xt < M > ed anche / 1 7Ó&*"* ! *" dt < M ' 







20. Ciò posto, distingueremo vari casi. 



l n Caso - Tutte le h v abbiano i loro moduli minori dell' unità. La con- 

 dizione 



j/y? - * vt ! < 1 



(*) Mathematische Annalen, Bd. XIX. 



