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 21. Per vedere come sia formata la serie ora trovata, noto che 



2 C e~^" ( = = — 2 h x >h ^h Xm e~ (Mi-^a«5-*--*m«m) { 



n(i— V"* 1 ) ' * m 



dove 1' ultima sommatoria è estesa a tutti i sistemi di valori interi positivi o nulli 

 delle A t , A s ,... A m ] e da questa risulta 



(39) <p(x) = 2h^h/*hJ~f(x + À i a l +A a a t +'.-Z m aJ . 



Se questa si riguarda come funzione delle m -+- 1 variabili a; ed h t , h sì ...h m , 

 essa è regolare per tutti i valori delle ^ v minori d' uno in valore assoluto, e per x 

 tale che R(x) >• /> . 



Facendo in particolare %(t) = 1 . si ha la formola 



oc 



xt dt ?? h}ih}°-...h Xm 



C40Ì / e ~ — — 



2 



y '"S 



n(l — V -av x„x m =o « ■+■ /L,a, -+- ^a,n— • A m a w ' 



o 



Queste due espressioni rappresentano la medesima funzione analitica, ma la seconda 

 in un campo più esteso della prima : infatti la prima vale soltanto per R(x) > 0, 

 mentre l'altra vale per ogni valore di #, eccettuati quelli compresi nella formola 



X l a 1 -+- A s a s -+-••• A m a m . 



estesa a tutti i valori interi (positivi o nulli) delle A . Questa funzione soddisfa 

 all' equazione funzionale 



<p{x) — 2A v (^(a;-r-a v ) -+- 2A (1 A v <^(A--i-a |1 -i-a v ) ±h 1 h s ...h m (p(x-t-a 1 -4-a s -+—a m ) = - . 



Nel caso speciale di un solo binomio, questa equazione diventa 

 (41) <p{x) — h<p(x + a)--, 



la cui soluzione è data, per \h ■< 1 , da 



f e~ M d,t _ h n 



J l — he- 



y.t 



x -+- na 



o 



che non è altro che la serie ipergeometrica 



1 ^./x , x 7 \ 



-Fi-, l, -- f-I, hi 

 x \a a ! 



