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22. 2° Caso - Prendiamo ora a considerare il caso che alcune delle h abbiano 

 i moduli maggiori dell' unità, senza che però le radici dei binomi 1 — TLe - "*' si 

 trovino sulla linea d' integrazione. In tal caso le serie considerate a N. 20 non 

 sono più convergenti per tutti i valori di t da a co e quindi la formola (39) 

 non si può più stabilire. Perciò, mentre esiste per la (p(x) la sua espressione in 

 integrale definito, si perde lo sviluppo in serie che valeva nel caso precedente : 

 nonpertanto le altre proprietà della funzione si conservano. Così nel caso più 

 semplice dell'equazione funzionale (41), la serie del secondo membro della (42) è 

 divergente, mentre l'integrale del 1° membro rappresenta per R{x) >• una fun- 

 zione analitica che soddisfa alla (41) e all' equazione differenziale delle funzioni 

 ipergeometriche. 



23. 3" Caso - Si potrebbe ora considerare il caso di alcune delle k v minori 

 d' uno e delle altre uguali ad uno in valore assoluto ; ma noi tralasceremo questo 

 caso per limitarci al più interessante, vogliamo dire quello in cui tutte le h v sono 

 uguali all' unità : caso che ci condurrà alla annunciata generalizzazione delle fun- 

 zioni Euleriane. (*) 



Supponiamo pertanto di avere 



m 



a(—t) = Il (1— e-M) ? 



v = l 



dove tutte le a v hanno la parte reale positiva ; in questo caso 1' espressione (37) 

 non ha significato perchè ognuno dei suoi fattori essendo nullo per t = , la 

 funzione sotto al segno è infinita d' ordine m per quel valore di t : invece avrà 

 significato 1' espressione 



(43) ( - ir?«(») =f $p™ ■ 







In questo caso resta soddisfatta da sé la condizione che nessuna delle radici 

 di a(t) sia sull' asse reale. 



24. Passiamo ora a dimostrare che 1' espressione integrale (43) si può sostituire 

 con una serie analoga a quella studiata nel primo caso. 



A quest' effetto, dimostreremo prima il seguente : 



Lemma - Il valore dell' espressione (43) tende a zero quando la parte reale 

 di x tende a +co. 



Pongo x = p , -I- C » p , > p , e scrivo 



fi 



ai — t) J a{ — t) •' a( — t) 



J a(— t) ~J a( — t) <' 



(*) Cfr. la mia Nota nei Coinptes-Rendus de l'Ai. ad. des Sciences de Paris, t. CXI (23 jan- 

 vier 1888). 



