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 Sia ora y la minima fra le y v , ed almeno uno degli interi X, t eguale ad £, e sarà 



(49; | w > ly t . 



Ciò posto, aggruppo i termini della (49) nel seguente modo : prendo prima 

 quella w in cui tutte le X sono eguali ad uno, poi quel gruppo di quantità w in 

 cui almeno un indice A è uguale a 2 , mentre i rimanenti sono uguali ad uno : 

 questo gruppo comprende 2 m — 1 termini; poi quel gruppo in cui almeno un 

 indice è uguale a 3, mentre gli altri sono 1 o 2: questo comprende 3 m — 2'" 

 termini,.... in generale quel gruppo in cui almeno un indice è uguale ad n 

 mentre gli altri sono 1, 2,... n — 1 : questo contiene n m — (n — 1)*" termini. Ma 

 per la (49), si ha per un termine di quest' ultimo gruppo 



— < — 



I m ! 



ny t 



onde per tutto il gruppo , la somma dei termini corrispondenti della (48) presi 

 in valore assoluto sarà minore di 



1 „« _ ( n — ] )* 

 che sviluppata, dà 



y t k n" 



m m 9 ( — 1 ) 



m — 1 



V * ' ti — m-t-l 



/l-l ft ~ — Tft ^V~ £ /yt n- 



Ora è chiaro che i gruppi formati nel modo indicato esauriscono tutte le ic , ec- 

 cettuato quelle in cui uno degli indici è zero: indicando con 2" la somma fatta 

 con questa restrizione, si avrà 



1 li°°l °° 1 °° 1 ì 



-^ < —r \m 2 -= j — m p 2 -=- _ n 1- (— 1Y»2 -s 



w \ 7 ' i n h - m + l 9 ! n k - m ^ 2 ì « 



Nel secondo membro di questa disuguaglianza abbiamo un numero finito di 

 serie armoniche, le quali sono convergenti se Y esponente in denominatore è > 1 , 

 epperciò la condizione di convergenza della serie precedente è 



(50) le > m , 



e se k deve essere intero, 



(50)' k > »+l. 



