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 In 2" mancano quei termini dove uno degli indici è zero: ma è chiaro che questi 

 ci conducono ad un numero finito di serie analoghe a 2", ma con un numero di 

 indici inferiore ad m, le quali per h~^> m sono a fortiori convergenti ; dunque le (50) 

 e (50)' sono anche le condizioni di convergenza assoluta delle serie 



2' l 



u? (x -+- wf 



28. Pongasi 



(51) (_ l) m m! 2 3 -. 5 — - x =ip {m Kx)=éW(x \a.,a s ,... aj; 



la funzione così definita è uniforme, regolare in tutto il piano eccettuati i punti w , 

 e soddisfa all' equazione (1) che in questo caso è della forma 



(52) ^ m \x) — ^ m \x-^a t ) — ipw(x-ha s ) $W(z-i-a m ) -+- ^«(aH-^-j-a,) -+»••• 



(— \) m m! 



(_ i)^i«) (il . + fl/+aj+ ... fl j = 



/pm-t-l 



Inoltre, dall'espressione (45), si ricava fra la ip im) (x; a } , a s ,... a m ) e la tp (m, (a;; a OJ ... a m ), 

 la relazione 



(53) $W(z; a 9 ,...aj = ip^(x;a lì a sr ..aj — ip {m >(x-i-a t ;a tì a 9 ,...a m ) . 



29. Posto analogamente per qualunque intero k maggiore di m 



1 



(54) $M(z) = (— Ifk! 2 



(x -+- w 



ji-*-i 



la funzione ip {k) gode pure delle proprietà espresse dalle equazioni (52) e (53) ; 

 queste funzioni %p {k) si possono riguardare come le derivate successive di una mede- 

 sima funzione : ma tali derivate non ammettono 1' espressione in serie convergenti 

 della forma (47) se non per indici di derivazioni eguali o maggiori di m . 



Queste funzioni danno una generalizzazione assai ovvia delle derivate succes- 

 sive della funzione di Gauss "^(x) (*), che è la derivata logaritmica della funzione 

 Euleriana T(x) . Serie della forma (47) valgono in questo caso a partire della 

 derivata prima di "^(x) , per la quale si ha, come è ben noto : 



W(z) = 



(x ■+- ny 

 (") Gauss — Werke, Bd. Ili, p. 201. 



