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 Per m := 2 si otterrebbe pei' prima serie convergente della forma ^47) la 



¥"(*; & iV a,) = 2 



che sarebbe la derivata seconda logaritmica della funzione di ELine (*) e che 

 entra a far parte della funzione p'(x) nella teoria delle funzioni ellittiche, secondo 

 la trattazione del Weierstrass. (**) 



30. Se la (51) s'integra termine a termine, si ottiene una serie divergente : 



ma se ad ogni termine si toglie la costante — - è facile vedere che essa si riduce 



w 



convergente : con ciò non si fa altro che applicare il noto procedimento del teo- 

 rema di Mittag-Leffler. Integrando successivamente, ed applicando ad ogni suc- 

 cessiva integrazione il detto procedimento del teorema di Mittag-Leffler, si giunge 

 ad una serie convergente della forma 



ip(x; a t , a s ,... aj = S \-—^ — rjx)j 



dove r a (x) è una funzione razionale intera di grado m — 1 . La funzione cosi otte- 

 nuta gode di proprietà espresse dalle equazioni 



(52)' ip(x) — ìp{x-v-a t ) — ip(x-\-a s ) 1- ip(x-t- a t -+-a g ) -\ 



1 

 x 

 e 



(— l) m ip(x -+- «,-+- a e -t— • aj = 



(53)' ip(x-+-a 1 ;a 1 ,a sr ..aj— ip(x; a v a s ,...aj — ip(x; a sr ..a m ) ; 



ed essa, toltane una lieve differenza di forma, non è altro che la derivata loga- 

 ritmica della funzione 0(x) del Sig. Appell (***). Nel lavoro del Sig. Appell la re- 

 lazione (53)' (****) è presa come fondamentale. 



Su queste funzioni, che offrono uno speciale interesse (perchè nel caso di più 

 di due periodi , quando mancano le funzioni uniformi periodiche propriamente 

 dette, esse vengono a conservare parecchie delle proprietà più notevoli della pe- 

 riodicità) basti per ora questo rapido cenno ; riserbandoci di riprendere l'argomento 



(*) Heine — Handbuch der Kugelf aneti onen, BJ. I, p. 109. 



(**) V. p. cs. Halphen — Tratte des fonctions elliptiques, T. I, p. 369. 



(*•*) Mathematiche Annalca, BJ. XIX, p. 84. 



(****) Ivi espressa dalla corrispondente forinola (4), p. 85. 



