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 (dove l'integrazione è eseguita lungo una linea determinata e dove A(x,y) è una 

 funzione data ed u{y) una funzione variabile) come operazioni funzionali eseguite 

 sulla u{y) e che danno come risultato funzioni della x . La A(x,y) è stata detta 

 funzione caratteristica dell'operazione (2), e si è visto come, essendo essa A(x,y) 

 una funzione analitica di x e d' ?/, anche il risultato dell' operazione sia, in classi 

 estesissime di casi, una funzione analitica della x. Ricordiamo ancora come fra i 

 problemi cui dà luogo lo studio della operazione (2), uno dei più interessanti per 

 sé stesso e per le sue applicazioni sia 1' inversione dell' integrale (2) cioè la risolu- 

 zione rispetto ad -u(y) della equazione funzionale 



(3) A\«) =/(*), 



dove f(x) è una funzione analitica data; e per l'ordine di idee in cui mi sono 

 posto, mi limito a quelle soluzioni della (3) che sono funzioni analitiche. 



Ora, 1' equazione (l) che forma 1' oggetto di questa Memoria mi si è presentata 

 appunto come conseguenza di un'inversione d'integrale definito. Volendo dunque 

 indicare la via che ad essa equazione mi ha condotto , comincerò dal trattenermi 

 alquanto su quel genere di problemi d' inversione che opportunamente specificato, 

 ci porta all' equazione (1). 



§ 2. Operazioni funzionali le cui funzioni caratteristiche soddisfano a 

 certe equazioni a derivate parziali. — I polinomi dell' Appell 

 generalizzati. 



3. Una classificazione delle operazioni funzionali della forma (2) andrà certa- 

 mente fondata sulle proprietà della funzione caratteristica: si potranno per esempio 

 aggruppare in una stessa famiglia quelle operazioni le cui funzioni caratteristiche 

 soddisfano alla medesima equazione a derivate parziali. In particolare si potrebbe 

 supporre questa equazione della forma 



< 4 > ?*V.^*' v) »*V = 



dove le A kk sarebbaro funzioni razionali intere in x ed y ; in tal caso, svilup- 

 pando la A(x, y) in serie della forma 



n = y 



i coefficienti A(x) soddisfarebbero ad una equazione mista differenziale ed alle 

 differenze ed il problema d' inversione dell' integrale coinciderebbe collo sviluppo 



