— 183 — 



di una funzione f{x) in serie di tali funzioni AJx) . Si potrebbero anche cercare 

 le condizioni di convergenza delle serie procedenti per tali funzioni, serie che con- 

 tengono come caso particolare quelle considerate dal sig. Poincaré (*); ma su ciò 

 mi propongo di tornare in altra occasione. 



4. Per giungere all' equazione che costituisce 1' oggetto del presente lavoro, 

 esaminerò una forma speciale dell' equazione a derivate parziali (4), e precisamente 

 1' equazione 



ì> m + l A n J ffl+1 i /»i+l\ ì m + l A ò m + l A 



che si può scrivere simbolicamente 



Sviluppando un integrale di questa equazione in serie della forma (5), i coef- 

 ficienti AJx) soddisfaranno all' equazione mista differenziale e alle differenze 



(7) A t ^)(x) - {m+..l)nA ( £L l) {x) -+- ( m ^ ^(n-^A^ix) —.- 



_f_ (_ l)m+i n (n— l)...(n — m)A n _ m ^i(x) == , 



dove gì' indici superiori sono indici di derivazione rispetto alla variabile x. 



L'integrazione dell'equazione (6) alle derivate parziali si può eseguire come 

 segue : 



Avendosi l' equazione del prim' ordine 



ÌA Ì>A 



1 = 



ite <\y 



1' integrale si ha subito nella forma 



A(x,ij) = $(?/ — x) 



essendo <1> un simbolo di funzione arbitraria. Dalla equazione del second' ordine 



DM a Ò'A Ò S A 



ry+2 r-^-H- r-j- = 

 (te oxìy oy 



(*) American Journal of Mathematica, T. Vili. Sur ìes équntions Ihi/f/iires mix dìfférentielles 

 ordinaires et aux différences finies, S 7. 



