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dell' ordine m . Se indichiamo per brevità con TA (x) o semplicemente con TA 

 Y operazione funzionale 



HA 



_» _ nAn _, , 



si avrà 



T S A = A n " — 2i n _! -+- n(n — l)A n _ 2 , 



ed in generale si verifica assai facilmente che 1' equazione (7) si può scrivere 



T(m+i)A ( x ) =z . 



I polinomi che soddisfano a questa equazione si possono esprimere senza difficoltà 

 mediante polinomi di Àppell dell' ordine zero ; infatti se si pongono nella (8) in 

 luogo delle funzioni arbitrarie <t> h (y — x) sviluppi in serie di potenze negative 

 di y — x, si ha 



*&-*) = !%# 



n=o y 



dove le U k>n sono polinomi di Appell dell' ordine zero, donde 



A n (x) = U 0t n -1- xl\ <n H 1- x n V myn , 



e ciò confeiTna quanto si è detto di sopra sul numero di coefficienti arbitrari in 

 questi polinomi d' ordine superiore. 



Il problema d' inversione (3) coincide dunque nel nostro caso colla ricerca 

 dello sviluppo di una data funzione in serie di polinomi di Appell d' ordine 

 superiore. 



6. Ma il medesimo problema d' inversione racchiude pure un' altra questione : 

 se infatti supponiamo scelte le funzioni arbitrarie della (8) per modo che , lungo 

 la linea d' integrazione, esse ammettano uno sviluppo in serie di potenze intere 

 negative di y — a; e sia 



Hy —«) = 2 



&k,n 



n =o(y — xY+ l ' 



ne viene che la (3) diventa 



oo <f> (n) (x) 



(9) 2 (ao, n •+- «i,n» H ^ a m ,nX n ) , = f{%) 



* = n - 



TOMO IX. 



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