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 dove si è posto 



CO) *» =/^ ■ 



Il problema d' inversione espresso dalla (3) conduce dunque alla risoluzione 

 di un' equazione differenziale lineare a coefficienti razionali e di ordine infinito. 



§ 3. Forma speciale delle funzioni arbitrarie cne conduce all' equa- 

 zione (l). Trasformazione di Laplace. 



7. Facendo sulle funzioni arbitrarie O/2) una ulteriore limitazione, supponendo 

 cioè che esse siano funzioni razionali nulle all' infinito e coi poli nei punti 

 , a t , a 9ì ... a , dall'equazione (3) si viene alla (1), argomento della presente 

 Memoria. Nella ipotesi fatta, sarà 



4>.(s) = 2 2 - y * v \. (a„ = 0) 



onde, tenuta presente la posizione (10), l'equazione (3) si trasforma in 



(11) 2 2 2 ' a* d<P ^^ = /(*) , 



equazione funzionale molto generale che racchiude in sé le equazioni differenziali 

 e alle differenze lineari ed a coefficienti razionali. Però, siccome la ricerca che vo- 

 gliamo intraprendere su questa equazione non si muta essenzialmente supponendo 

 i poli delle funzioni § k {z) tutti semplici, noi ci atterremo a questo caso, in cui la 

 forma dell' equazione (11) viene notevolmente semplificata, riducendosi alla 



(1) 2 hp)(p{x ■+- a v ) = f(x) , (a = 0) 



v=0 



con 



m 



h = 



In questa ipotesi, i polinomi di Appell d'ordine superiore, di cui si è parlato a 

 N. 5, assumono la forma : 



m 



AJ&) = 2 xXffk,o% n -*- 9k,\(z ■+• ai)" H 1- 9kA x -*- a pT) • 



&=0 



