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 8. Per lo studio dell' equazione (1) giova assai una equazione trasformata 

 analoga a quella che il sig. Poincaré impiega nei suoi studi sugi' integrali irre- 

 golari delle equazioni lineari. Onde ottenere questa equazione trasformata, scriviamo 

 prima ì coefficienti hjjc) dell' equazione (1) sotto la forma 



m 



indi poniamo 



(12) <p(x) =fe*'iP(t)dt , /(*) =fé*' % (t)dt , 



gì' integrali essendo estesi ad una linea da determinarsi convenientemente, come sì 

 vedrà in appresso. Si ottiene allora integrando per parti m — 1 volte successive 

 e supponendo nulla la parte ai limiti ad ogni integrazione : 



x(p(x) = — fe xt ip'(t)dt 

 x m <p(x) = (— l) m fe x, ipW(t)dt 



onde anche 



(13) (x -+- aj'(p(x -+- a v ) = (— l) ft f e xt e K -' f ip^(t)dt (k = 0, 1 , 2,... m) . 



Con ciò, l' equazione (1) si trasforma nella 



m 



(14) 2 (— l)fc,o + ? s ,,^ ( + fee^+--+ q s , P e^)ip^(t) = %(t) ■ 



; = 



Otteniamo così un' equazione differenziale lineare i cui coefficienti sono funzioni 

 trascendenti intere formate con un numero finito di esponenziali; essa si dirà la 

 trasformata di Laplace dell'equazione (1). 



9. Insieme all' equazione (3) si può considerare 1' altra 



j A{x,y)u{y)dy = , 



che equivale, essendo la A(x,y) della forma (8): 



a) alla ricerca degli sviluppi dello zero secondo un sistema di polinomi di 

 Appell d' ordine superiore ; 



