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b) alla risoluzione di un' equazione differenziale lineare omogenea ad infiniti 

 termini e a coefficienti polinomi ; 



e) e parti colareggiando le funzioni arbitrane come è detto a N. 7, all' equa- 

 zione funzionale lineare omogenea 



(15) 2 hjx)<p(x -+- aj = 

 che ammette per trasformata di Laplace la 



m 



(16) 2 (— 1)^,0-4- q. hX e«t H (- q s , p e^)ip^(t) = . 



s=0 



Come nella teoria delle equazioni differenziali lineari offrono maggior interesse 

 le equazioni omogenee, alle quali si riconducono in sostanza le altre, così anche 

 per noi presenterà precipua importanza la equazione (15) insieme alla sua tras- 

 formata. Incominceremo dunque dall' esame di queste , il che ci porgerà 1' occa- 

 sione di osservare come i metodi coi quali il sig. Poincaré nella sua Memoria del 

 T. VII dell' American Journal of Mathem. studiò gì' integrali delle equazioni dif- 

 ferenziali lineari a coefficienti polinomi, si possono applicare ad equazioni fun- 

 zionali come la (15), equivalente in ultima analisi adequazioni differenziali d'or- 

 dine infinito. 



§ 4. L'equazione (15), la sua trasformata e le sue soluzioni intere. 



10. Dalla teoria generale delle equazioni differenziali lineari è noto che la 

 equazione (16), che scriverò 



m 



2 (- i)'?.W w (0 = o , 



s=0 



ammette nell' intorno di ogni punto a distanza finita nel piano t , m integrali a 

 carattere razionale intero e lineamenti indipendenti : eccettuato l' intorno dei punti 

 radici della equazione 



7 ) ?«(Q = ?«,«, ■+" Ut ** ■+• Us ^ -*-"-»- 2*,, *** = ° ■ 



Questi punti-radici sono però punti singolari ordinari dell' equazione differenziale, 

 e la teoria del Fuchs c' insegna il modo di comportarsi degli integrali nell' in- 

 torno di essi. Il punto t = co è invece un punto singolare irregolare ; esso è 

 inoltre il punto-limite delle radici della (17). Ma è necessario osservare che questi 

 punti si condensano soltanto in certe direzioni in numero finito, e che ho chia- 



