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mate direzioni-limiti (*). In altre parole , al crescere indefinitamente di t in una 

 direzione qualunque , si potrà in generale trovare un numero positivo a tale che 

 per 1 1 j >> a la q m (t) non si annulli più. Vi è eccezione solo per alcune direzioni 

 in numero finito (direzioni-limiti) che sono quelle per le quali due o più dei pro- 

 dotti a y t assumono la stessa parte reale ; posto cioè 



t = t(cos A -+- i sen A) , a v = y v -+- V , 



le direzioni-limiti si hanno sotto la condizione necessaria (non sufficiente) 



(18) tgA = f=£, *M = 0,1,2,... ,- 



d v — d a 



v 



di cui è facile dare una interpretazione geometrica, sulla quale però non giova 

 trattenerci. 



11. Sia ip(t) un integrale qualunque della (16) e si formi 



(10) <p i (x)=fe°<ip(l)dt, 



(k) 



essendo L una linea chiusa del piano t, che racchiuda alcuni dei punti singolari 

 dell'equazione differenziale (radici della (17)) senza però passare per alcuno di 

 questi punti. Sia a un punto qualunque della linea L: si integri per parti la (19) 

 e la espressione ai limiti si calcoli partendo dal punto a e tornando al medesimo 

 punto dopo di avere percorsa la linea l r Si otterrà così una espressione della 

 forma 



xtp t {x) = c t e ax — fe x 'ip'(t)dt 

 (k) 



e ripetendo 1' integrazione per parti si giungerà all' eguaglianza 



x h <plx) == «""(cìS*- 1 -*- c 2 x k ~ 2 -i 1- c k ) -f- (— 1)" fe xt tpW(t)dt , 



Vi) 



e quindi, moltiplicando l'equazione (16; per e xt ed integrando lungo il contorno l. , 

 si avrà 



p 



2 (go v ■+- 2i,v(aH-Ov) H H ?m,v(a:-4-oc v ) m )^0-t-<> — e " x ( c h0 ■+- °ì,i % -+-—Ci,m-\ x m ~ l ) ■ 



v=0 



(*) Sulla risoluzione dell' equazione S h v cp(% -t- a v ) == f{x) , a coefficienti costanti, § 5 (Mem. del- 

 l' Accad. delle Scienze di Bologna, S. IV, T. IX, 1888). 



