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 Prendiamo ora rn+1 contorni differenti che escano tutti dal punto a , ma 

 che racchiudano gruppi diversi di radici della (17): avremo così m -f- 1 fun- 

 zioni (fi., (i = 1, 2, 3,... m -+- 1) ; e se porremo 



(p{x) = Ki (pi -+- K 2 (pi H h Z m _i <^ mH .i 



e determineremo le K in modo che sia 



Zi c hh -+- 2Ts <%a H 1- Z B+ i c m ^. 1)A =0 (A = 0, 1, 2,... m — 1) 



(il che è possibile in generale, per essere le radici di (17) in numero infinito e 

 le linee /. racchiudendo gruppi arbitrari di queste radici) la funzione <p(x) sod- 

 disfarà all' equazione funzionale (15). Una soluzione di questa equazione è dunque 

 data nella forma 



m ■+- 1 / . 



(20) (p(x) = 2 K. / e x 'ip(t)dt 



di) 



essendo ip(t) uno o l'altro degl'integrali della (16), e le K costanti determinate 

 come è stato indicato. Ma nella (20), in cui le linee d' integrazione sono di lun- 

 ghezza finita, l'esponenziale si può svolgere in serie e si può quindi integrare 

 termine a termine per qualunque valore di x] da cui segue che le soluzioni del- 

 l' equazione (15) date dalla (20) sono funzioni trascendenti intere. 



12. Una di queste soluzioni intere può, sotto certe condizioni, essere data 

 da un solo integrale , preso lungo una linea che unisca due radici a e b della 

 equazione (17) senza passare per altre radici dell' equazione stessa. Le condizioni 

 perchè ciò accada si trovano senza diffico'tà fondandosi sulla nota teoria del Fucns ; 

 basta cioè che « e b siano radici semplici della (17), e che le quantità 



gm-i(ft) ff w -i(fl) 



abbiano la parte reale positiva. Infatti, sotto queste condizioni, l'equazione diffe- 

 renziale (16) ammette nell' intorno del punto a, m — 1 integrali regolari e 1' m" ma 

 della forma 



1 i g"-' (ff) 

 ip(t) =r c (t — «) <?»•>) -+- potenz. super, di (t — a) , 



e quindi, se è 



g»-l( g ) ^ q 



