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 ip(t) è nulla colle sue m — 1 prime derivate per £ = a; analogamente per t — b, 

 talché sono soddisfatte le condizioni ai limiti indicate a N. 8, e la 



(p(x) = fe xt ip{t)dt 



è, se 1' integrale ip(J) è preso opportunamente , una soluzione trascendente intera 

 della nostra equazione funzionale. 



§ 5. Soluzioni non intere dell'equazione (15). 



13. Oltre alle soluzioni intere trovate per l'equazione (15) nel § precedente, 

 esistono anche altre soluzioni delle quali ci vogliamo occupare : ci proponiamo 

 cioè di studiare se si può soddisfare alla (15) mediante espressioni della forma 



(19)' (p{x) = j e xl {t)dt 



supponendo infinito uno od ambedue i limiti dall' integrazione. 



A questo studio è necessario di premettere la ricerca del modo di comportarsi 

 del prodotto ì^{t)e xt quando t tende all'infinito in una data direzione; e a questa 

 ricerca si presta assai opportunamente un teorema dovuto al sig. Poincaré (*). 



In ciò che segue indicherò con l(A' , A") una linea che venendo dall' infinito 

 nella direzione A', (**) torna all' infinito nella direzione A", escludendo sempre che 

 questa linea passi per qualche radice dell'equazione (17); escludendo pure che A' 

 o A" siano direzioni-limiti. 



14. Supponiamo prima che t vada all'infinito nella direzione dell' asse reale e 

 positivo; aggiungiamo l'ipotesi (dalla quale si potrebbe però facilmente prescindere) 

 che le a y) abbiano tutte la parte reale dello stesso segno, p. es. positivo. Inoltre 

 la direzione dell' asse reale positivo non sia una direzione-limite : ne segue che due 

 delle ot v non hanno la medesima parte reale; perciò fra le a, t ve ne sarà una 

 avente la massima parte reale, e sia la a . Infine supponiamo che q w<p sia di- 

 verso da zero. 



In queste ipotesi, il rapporto q s (t) '. q m (f) tenderà, per t = -ì- co , al limite finito 

 e determinato 



Qm,P 



(*) American Journal of Mathematics, T. Vili, 1SS5, § 1. 



(**) Con direzione X s'intendo sempre la direziono che fa l'angolo X coli' asse dello quantità 

 reali o positive nel piano /. 



