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 segue da ciò, per F accennato teorema del sig. Poincaré , che se si indica con g 

 la minima parte reale delle radici dell' equazione 



(21) q m , P z m ■+■ q m -\ tP z m ~ l h 1- q\, P z ■+• qo, P = o , 



i prodotti 



ip(ty , ip'(t)e xt ,... ipM(t)e*' 



tenderanno a zero col tendere di t all' infinito, per ogni x la cui parte reale sia 

 minore di g . 



Prendendo dunque x in modo che la parte reale di x -+- a , (e quindi a for- 

 tiori di x, x -+• a\ ,... x -+- oc p _i) sia minore di g , le espressioni 



f d«+**)*$V)(ftdt 



avranno un significato e rajDpresenteranno funzioni analitiche di x , anche se 1' in- 

 tegrazione è estesa ad una linea 1(0, 0) che venga dall' infinito reale e positivo e 

 torni all' infinito nella medesima direzione : e con queste si sarà soddisfatto alle 

 eguaglianze (13). L'espressione (19)' dove l'integrazione è eseguita lungo questa 

 linea ^(0,0), ci dà pertanto una soluzione dell'equazione funzionale (15). 



Si ottiene anche, sotto certe condizioni, una soluzione dell'equazione (15) pren- 

 dendo la (19)' estesa ad una linea d'integrazione che da un punto singolare 

 della (16) cioè da una radice a dell' equazione (17), va all' infinito nella direzione 

 dell' asse reale positivo. La teoria del sig. Fuchs c' insegna che le condizioni a 



ciò necessarie sono : che la radice a sia semplice, che ~ abbia la sua parte 



2m \ a ) 



reale positiva, e che 1' integrale ip sotto il segno sia quell' integrale particolare 

 che nell' intorno di a si annulla come 



gm _,( g ) _ 1 



(t — a) ?''»(<*) 



15. Supponiamo invece che la variabile t si allontani indefinitamente secondo 

 una direzione A' che non sia direzione-limite. Porremo 



t = t(cos A' -t- t sen A') , a v = y v ■+- id,, , 



e poiché A' non- è direzione-limite, le quantità 



, y t cos A' — d ' t sen A' ,... y r cos A' — d p sen A' 



