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 saranno tutte diverse fra loro, e ve ne sarà una massima: sia quella d'indice u; 

 allora per t = co , il rapporto q s {t) '. q m {t) tenderà a 



dove si suppone q miV . diverso da zero. Applicando di nuovo il ricordato teorema 

 del Poincaré, se si potrà determinare un campo di valori di x nel quale le parti 

 reali di 



,<. v a / s=\, 2,... m \ 



^ +S + a > {v = 0,l,2,...p) 



siano negative, essendo le C s le radici dell' equazione 



(21)' W« m -+- gm-i,^" 1-1 H H ?o,n = , 



per ogni valore di x preso in questo campo , il prodotto ipifìe* 1 tenderà a zero. 

 Se dunque determineremo due direzioni X. A" che non siano direzioni-limiti , e 

 corrispondentemente un campo di valori di x soddisfacenti alle condizioni ora dette 

 rispetto a A' e alle analoghe per A", l'integrale (19)' esteso alla linea l(A',A") 

 ci darà, per quei valori di x, una soluzione dell' equazione (15). 



16. Immaginiamo il piano t diviso in settori S separati dalle direzioni-limiti. 

 Se la linea l(X,A") è tutta in uno stesso settore 5, l'equazione (21)' serve tanto 

 per la A' quanto per la A": infatti, se una retta di azimut A va con continuità 

 da A' a A", il binomio y^ cos A — dy, sen A non cesserà di essere il massimo, 

 poiché non può diventare eguale e quindi inferiore ad un altro se A non coincide 

 con una direzione-limite. Ma se fra A' e A" cade qualche direzione-limite, 1' equa- 

 zione (21)' relativa a A" non coinciderà con quella relativa a A'. 



Un' altra osservazione importante è la seguente. Se la linea l(X , A") è tutta 

 in uno stesso settore S, per modo che essendo A tì A s gli argomenti delle direzioni- 

 limiti che limitano il settore, si abbia 



A 1 < X < A" < A 



2 1 



allora entro essa linea cadranno radici della (17) in numero finito. Se dunque 

 deformiamo la linea d' integrazione mantenendola però sempre entro la primitiva 

 1{X A") (rimanga essa linea infinita o si riduca anche finita, ed in tal caso sia 

 chiusa), fra le varie soluzioni dell'equazione funzionale (16) che si otterranno in 

 tale guisa passeranno delle relazioni lineari, come quelle che si hanno fra gì' in- 

 tegrali di un' equazione differenziale lineare. Ma se fra le direzioni X , A" vi è 

 qualche direzione-limite, deformando la linea d' integrazione mantenendola sempre 

 entro la primitiva 1{X , A") si potranno avere infinite soluzioni della nostra equa- 

 zione funzionale, linearmente indipendenti. 



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