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§ 6. Sviluppi ili serie per le soluzioni dell'equazione (15). 



17. Riprendiamo 1' equazione (16), e proponiamoci di vedere se essa possa essere 

 soddisfatta in un campo conveniente di valori di t da sviluppi in serie della forma 



(22) f(t) = eP t 2c w e tet , 



dove si è posto per brevità 



c«, = c MliM2r ..^ e w = n ì a i -+- n s a s H n p a p 



e dove la somma si estende a tutti i sistemi di valori interi, nulli o positivi, degli 

 indici n n n sV .. n . Siamo condotti a cercare lo sviluppo della ip(t) nella forma (22), 

 per 1' analogia cogli sviluppi che si ottengono nel caso più semplice in cui 1' equa- 

 zione (16) si riduce al primo ordine (s= 1) o nell'altro in cui fra le a v passa 

 la relazione 



a v = va, ; 



in ambedue questi casi si verifica facilmente che 1' integrale dell' equazione può 

 svilupparsi in serie della forma indicata. 



Se nel primo membro dell' equazione (16) sostituiamo lo sviluppo (22) e po- 

 niamo eguale a zero il coefficiente di e wt , avremo fra i coefficienti c w una rela- 

 zione ricorrente, soddisfatta la quale, si otterrà uno sviluppo (22) che, almeno 

 formalmente, soddisfarà all' equazione (16). 



Questa relazione ricorrente fra i coefficienti si trova senza difficoltà nella forma : 



(Soo ~ Vìo(P "+■ n i a i ■+■ n * a s -•— • %%) ■+"•" 



(— i) m ? m0 (p ■+■ "ì«ì ■+-••• v/)^,»,,.^ ■+- 



(20i — 1ll(P-*- (»i — 1 )«i ■+" M *«* -+—• % a P ) ■+"- 



< 23 > \ (- l) m q m ,(p -+- (n t - l)a t ■+.«. v/) Cn ,.,„^ -H 



(Vop—VipiP +■ w ì«ì ■+- « 8 «o-H- (^— l)a„) ■+■•••• 

 ^ (.— injP -+" »,<», -+-••• («,- !)«/>»,, «,....«,-1 = 



donde in particolare per il sistema di indici 



«,= 0, « £ =0,... «„=o 



