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 risulta 



(24) q 00 - q loP ■+- q soP s — »H- (- l) m ? m0 /9 m = . 



18. Ora l'equazione (23), che deve servire alla determinazione dei coefficienti 

 della (22), non è altro che una equazione alle differenze finite parziali, a coeffi- 

 cienti razionali interi negli indici n t , n s: ... n ; e la funzione c nijMi) „.~ di questi 

 indici ha per funzione generatrice (*) una funzione f(x i ,x s ,...x p ) la quale alla 

 sua volta , soddisfa ad un' equazione a derivate parziali a coefficienti razionali. 

 Questa equazione si può formare come segue. Pongasi 



( 25 ) S.«2,«p == JJ""J f( x n x ?y V a^I ^S "" ,£^1 » 

 e si indichi questa relazione con 



c n 1 ,n 2 ,...n p z== ^ [/ (% 1 1 % s y % p )\ 5 



da questa risulta 



c ra,— l,n 2 ,...n p == '^\_ X iJ\ X fi % s y % p )\ 



ed integrando per parti rispetto ad x v e supponendo la linea d' integrazione tale 

 che la parte ai limiti sia nulla : 



,? V C «1 . «2!- "p 



G Wé]> (»=i,8,...i») 



Iterando e combinando convenientemente queste relazioni , sostituendo le espres- 

 sioni che ne vengono nell'equazione (28) e notando che il simbolo d' operazione C 

 è essenzialmente distributivo, si ottiene un' equazione lineare a derivate parziali a 

 coefficienti razionali in x t , x 9 ,... x 



(26) Mf %- —JlI—) = 







cui soddisfa la funzione /. 



Ma dalla teoria delle equazioni a derivate parziali , dovuta alla signora di 

 Kowalevski (**) si sa che l'integrale di questa equazione si può sviluppare, in 



(*) Nel senso di Laplace. Mentre f(x 1 ,x 2 ,...x p ) si dice funzione generatrice di Cn l ,n 2 ,...n p si po- 

 trebbe chiamare c n) ,n 2 ,... n p funzione coefficiente di f(x l ,x ì ,...x p ); questa denominazione mi sembra 

 abbastanza propria. 



(**) Creile, t. LXXX. 



