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generale, in una serie di potenze di x ± , x s ,... x convergente entro cerchi aventi 

 per centri i punti nulli nei singoli piani delle variabili , e per raggi grandezze 

 positive assegnabili B 1 , B s ,... B p . Da ciò risulta: 



Che all' equazione differenziale lineare (16) si può soddisfare mediante serie 

 della forma (22), dove la quantità p è una radice dell'equazione (24) ed i coef- 

 ficienti c W] j h^... np sono gli stessi di quelli dello sviluppo in serie per 1' integrale 

 dell' equazione (26) a derivate parziali. 



Per i valori di t che soddisfano alle condizioni 



(27) |e a '*| < R t , \e^\ < B s ,... |eV[ < B p 



la serie trovata è convergente assolutamente ed in egual grado. 



19. Si può cercare la forma del campo in cui sono soddisfatte le disegua- 

 glianze precedenti. Perciò ricordiamo che le parti reali delle a v si sono supposte 

 (N. 14) tutte positive, e che si è posto 



a v == 7 V -+- iò\ t , t = u -+- iv ; 



perciò la v sima delle condizioni (27) equivale a 



(27)' y v w — d,v < log B v . 



Questa diseguaglianza è soddisfatta nel piano t per tutti i punti di uno dei semi- 

 piani separati dalla retta 



y y u — # v » — log B v = ; 



e precisamente per quel semipiano dove è 1' origine se log B v è positivo, e per 

 quello dove non è 1' origine se log i? v è negativo : in tutti i casi per quella 

 porzione di piano in cui si trova la parte indefinita dell' asse reale negativo. Il 

 campo di convergenza della serie (22) sarà dunque dato dalla parte comune a 

 questi semipiani determinati dalle disuguaglianze (27)', (v = 1, 2,...p); ed in questo 

 campo, che diremo T, si trova una porzione infinita dell' asse reale negativo del 

 piano t . Al tendere di t all' infinito in questa direzione , i singoli termini della 

 serie (22) tendono a zero. 



20. Nel campo T così definito si prenda una linea che partendo da un punto ^> 

 interno al campo vada all' infinito in una direzione compresa nel campo stesso, 

 p. es. nella direzione dell' asse reale negativo se non è direzione-limite. Questa 

 linea non passi per alcun punto radice della (17). 



Si dia ora ad x un valore compreso nel campo per il quale , per t tendente 

 a zero nella direzione accennata, lim ìp(t)e xt tende a zero ; indi si formi 1' espressione 



(p {x) =fip(ty'dt 



