— 197 — 

 dove l' integrale è preso lungo la linea indicata. Sostituendo per la ip(t) il suo 

 sviluppo in serie, è lecito integrare termine a termine in forza della dimostrazione 

 già fatta al N. 20 della precedente Memoria : Sulla risoluzione dell' equazione fun- 

 zionale 2 h v (p(x -+- ot v ) a coefficienti costanti; e notando che 1' integrale del termine 

 generale è nullo al limite superiore dell' integrazione, si ottiene la funzione (p (x) 

 nella forma 



(28) <p (x) = **+** 2 c u 



X -+- P -H W 



Ma per essere convergente assolutamente la serie 2c w e wr >, ne segue che la serie (28) 

 converge non solo per il campo indicato di valori di x 1 ma in tutto il piano x 

 eccettuati i valori compresi nella foratola 



x = — p — w ; 



epperciò la <p(x) è una funzione trascendente fratta. Esaminando ora la funzione 

 così ottenuta, abbiamo 



oo oo 



(p (x -+- a v ) = / \p(t)e^ f e xt dt , x(p {x) = — e^ipty) — / ip' \t)e xt dt , 



dalla cui iterazione ed applicazione alla equazione (16), segue che <p (x) soddisfa 

 ad un' equazione funzionale : 



p 

 (29) S \(x)(p (x -+- O — eW(c ,o H- co,i * -+— " co,«-i x m ~ l ) . 



v = 



Se si possono formare ni -+- 1 funzioni analoghe 



<p (x) , (p t (x) ,... $ n (x) , 



(il che si può fare variando la linea d' integrazione ^....co nel campo T o la fun- 

 zione integrale -che figura sotto il segno) e poi si determina un sistema di m -+- 1 

 costanti K , K 1 ,... K m tali che 



K c 0A -h Z iC/| , +...- Z A , ft =0 (*= 0, 1, 2,... m- 1) 

 la funzione 



m 



0(*) = 2 if &(*) 



t=0 



