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soddisfarà all'equazione funzionale (15) e sarà esprimibile in tutto il piano x\ 

 eccettuati i punti — p — w\ da una serie convergente della forma 



r< 



<p(x) = e xr i S 



x -+- p ■+- tv 



21. Nel numero precedente abbiamo supposto che il punto t? fosse interno al 

 campo T di convergenza della serie (22). Supponiamo ora che r; sia al contorno 

 di esso campo , e che sia punto singolare per l' integrale ip(t) : più precisamente, 

 ip(t) sia singolare per t^=r? come (t — jp)™, essendo a una quantità la cui parte 

 reale sia maggiore di m — 1. La linea d'integrazione abbia per altro tutti i suoi 

 punti, eccettuato r) , nell' interno del campo T. In tale ipotesi : 

 a) L' integrale 



<p(x) = f ip(t)e xt dt 



e tutti quelli che figurano nelle integrazioni per parti di cui a N. 8 , hanno un 

 significato. 



b) Le parti ai limiti in quelle stesse integrazioni per parti essendo nulle, 

 <p(x) è un' integrale della (15). 



e) Se ^ t è un punto della linea d' integrazione prossimo ad y quanto si 

 vuole, nell' integrale 



co 



<p(x, y t ) = fip(t)e xt dt 



li 



è lecito sostituire a ip(t) il suo sviluppo in serie (per la stessa dimostrazione del 

 N. 20 della precedente Memoria), e si trova così 



(p(x, r) t ) — e**> S 



x ■+- p •+- w 



Se ora questa serie, considerata come funzione di r? t , è continua anche per r; t = jp, 

 allora per un noto teorema del prof. Dini (*) si può integrare termine a termine 

 anche da tq a co e si ottiene così una soluzione della (15) in forme di serie (28) 

 valida in tutto il piano, eccettuati i punti — p — tv. 



d) Quando al contorno del campo T si possono trovare due punti r/ , rf 

 per i quali valgano le medesime proprietà indicate all' alinea precedente, si avranno 



(*) Lezioni litografate di calcolo ; calcolo integrale, p. 90. Pisa, 1877-78. 



