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 le due soluzioni valide in tutto il piano 



x -+- p -+- io ' x -+- p -+- Ut 



la cui differenza sarà pure una soluzione della (15), ma non è più infinita nei 

 punti — p — w, epperciò è una soluzione intera. Cfr. con quelle già ottenute 

 al N. 12. 



22. Sia ancora tq un punto singolare dell' integrale ip(t) , posto al contorno 

 del campo di convergenza T, e ip(l) sia ancora singolare come (t — t?) m , ma non 

 si supponga più la parte reale di a maggiore di ni — 1 . In tal caso non si pos- 

 sono più eseguire le integrazioni per parti indicate al N. 8 , perchè se la parte 

 reale di o è compresa fra m — li — 1 ed ni — h, gl'integrali che contengono sotto 

 al segno la derivata m — h -+- l a di ip{t) e le derivate successive non hanno più 

 significato. Però, può giovare un procedimento che per gì' integrali definiti mi 

 sembra essere 1' analogo di quello che si tiene nelle serie coli' applicazione del teo- 

 rema di Mittag-Leffler, e che ho indicato in altra occasione (*). Questo procedimento 

 si può applicare al nostro caso nel modo seguente : 



Supponiamo prima per semplicità che il punto singolare r} dell'integrale ip(t) 

 sia il punto t=0. Moltiplicando l'equazione (16') per t, indi per e'dt ed inte- 

 grando lungo una linea / che per ora lasciamo indeterminata, e ponendo sempre 



<p(x) =fe*'tp(t)dt , 



(0 

 otterremo 



d"(p{x) _ 



fe x 't h ip(t)dt 



dx* 



(D 



e coli' integrazione per parte, supposta la linea d' integrazione tale che le parti 

 ai limiti si annullino, viene 



j V'*y*>(*)i* = (— i)" dh '^ d f x) ■ 

 W 



Sostituendo nell'equazione (16), si ottiene una equazione trasformata, la quale non 

 è altro che 



(29) * 2 h v (x)<p(z->-a v ) = 0. 



ax v =o 



(*) Sopra certi integrali definiti. (Rendiconti della R. Accademia dei Lincei, t. IV, fase. 3, 1888). 



