— 202 — 



Questo caso è analogo a quello della teoria delle equazioni differenziali lineari, 

 in cui si presentano logaritmi negli sviluppi degl' integrali regolari. 



35. Lo studio precedente racchiude come caso particolare quello dell' equa- 

 zione lineare alle differenze finite a coefficienti polinomi. Basta infatti supporre 

 nella (15) che le a v siano uguali a va, . In tal caso 1' equazione trasformata (16) 

 si muta colla trasformazione x = e* 1 * in un' equazione differenziale lineare d' or- 

 dine m, a coefficienti razionali, e ad integrali regolari. Questo caso è stato esami- 

 nato dal sig. Mellin in un recente lavoro (*). 



26. Un altro caso speciale che mi sembra meritevole di menzione è il seguente. 



Prendo a considerare la funzione 



p 

 ip(t) = n (1 — s v e«vt)rv 



v=l 



la quale soddisfa all' equazione differenziale lineare del prim' ordine 





la trasformata di questa equazione sarà un'equazione funzionale della forma (15) 

 e più precisamente 1' equazione : 



lx(p(x) — Zj(x — r t a ,)<p{x -+- a t ) — z s {x — r s a g )(p{x -+- a s ) 



; ~+" z t z À x — r t a i — r s a s )(p(x-ì-a t -\-a s ) -+- z t z 3 {x — r t a t — r 3 a 3 )(p(x-ha t -+-a 3 )-{- 



i -+• 



\ (— i) 2 'z d z s ...z p (x — r 1 a l —r s a s r p à p )<p(x ^ «,-+- a g -\ a p ) = . 



La funzione che soddisfa all' equazione precedente si può esprimere con 



co 



(32) <p{x) = f fi (1 — ze^^e^dt , 



J v = l 



il campo di valori di x e la linea d' integrazione essendo presi come si è detto 

 al N. 13, ed il limite inferiore essendo una delle radici di 1 — 2 v e av * , supposto 

 1' esponente 1\ > . In caso contrario, si procederebbe come è detto al N. 22. 

 Per il ragionamento indicato precedentemente (al N. 21) e sviluppato nella citata 

 Nota : Sopra certi integrali definiti, viene per <p(x) lo sviluppo in serie convergente 



(*) Ueber eine Zusammcnhaiig zwischen linearen Differential-und Differenzengleichungen (Acta 

 iMathem., T. IX, 1887). 



