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 in tutto il piano : coi soli poli nei punti — n i a 1 — ><„a., iia p] (« i , h ,. 



-t->i,,x ; -»-... >i p a,.) 



interi nulli o positivi; : 



rw V ' \ n i)\ n J \»,J -i-i-n ,(*,-*- n g a s -i--n p a p 



Su questa funzione si possono fare alcune osservazioni : 



a) La (p(x) è funzione analitica di x e di z t , ~ ~, : perciò essa si può in- 

 dicare con <p(x; z tì z sV .. z p ) , e le c / , z s .... z si possono dire parametri della 

 funzione medesima. 



6^ Essa ammette rispetto a z , p. es., lo sviluppo in serie di potenze 



donde apparisce che i coefficienti di cpiesto sviluppo sono funzioni della medesima 

 classe di <fi(x) , ma con un parametro di meno. 



e) Integrando per parti, si trova senza difficolta che la funzione <f>(x) sod- 

 disfa all' equazione a derivate parziali del primo ordine 



0(5 D<2J e<7} _ 



(33) x(p ■+- z,a, £- -h z v a s £- h h z v a p £- = . 



d) Nel caso che le a v siano tutte eguali (al quale caso si può ridurre quello 

 in cui esse siano tutte commensurabili) l' integrale (32) non è altro che l' integrale 

 ipergeometrico generalizzato, che contiene le funzioni ipergeometriche d' ordine 

 superiore del sig. Pochhammer (*) e le funzioni ipergeometriche a più variabili dei 

 sigg. Appell (**) e Picard (***). E facile dimostrare in questo caso che la fun- 

 zione (p(x) soddisfa ad un' equazione differenziale lineare dell' ordine p rispetto a 

 ciascuno dei parametri separatamente. L' equazione funzionale (31; si riduce ad 

 un' ordinaria equazione lineare alle differenze finite (****). 



(*) Creile, t. LXX1. 



(**) Journal de Mathématiques, S. Ili, T. Vili, 1882. 

 (***) Annales de l' Ecole Normale, 1881. 



(***•*) Q ome ne jj a precedente Memoria, si può notare anche qui che le considerazioni svolte per 

 l'equazione (15) si estendono senza modificazioni essenziali all'equazione di forma più generale: 



p 



S \ livfiy{x -+- a v ) -+- 7ìv,i<p'(# -+- a v ) -+-....+ Av,r v cp( r v) (x -+- aj { = . 



v = 



