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le rappresentazioni poi degli elementi immaginari son sempre armoniche, vale a 

 dire si ritiene costruito un elemento immaginario quando ne sia costruita una 

 rappresentazione armonica ; nel simbolo di un gruppo armonico riterremo che gli 

 elementi sieno scritti nèll' ordine stesso con cui si succedono nella forma, per es. : 

 in (abcd) i coniugati armonici sono a , e e b , d . Nella scrittura distingueremo gli 

 elementi immaginari dai reali, apponendo V indice i alle lettere che denotano i 

 primi; due elementi immaginari conjugati saranno poi fra di loro contraddistinti 

 col segno *, p. es. se g i ^(abcd) ì ossia se (abcd) è una rappresentazione armonica 

 della retta immaginaria di prima specie g i . sarà g*=(adcb) ecc. Le altre nota- 

 zioni geometriche di cui faremo uso, son quelle adottate dallo Schroter nella sua 

 Th. der Oberflàchen 2. 0, estese però anche agli elementi immaginari ; così ad es. : 

 la scrittura (a fi) = P. denota che P i è il punto immaginario comune alle due 

 rette immaginarie di prima specie a t , b %1 e ne segue che (a*b*) = P*, la segna- 

 tura | A t A*\ = s denota che la retta reale s è il sostegno (trager) dei due punti 

 immaginari conjugati A., A*', con la notazione \A, A'; B, B' \ indicheremo la in- 

 voluzione quadratica definita dalle due coppie di elementi conjugati A, A' ; B 1 B' . 

 Per le costruzioni fondamentali relative alla combinazione degli elementi immagi- 

 nari isolati rimandiamo all' opera di Staudt ed ai lavori sopra citati di Pfaff, 

 Lueoth ed August. 



1. Date in un medesimo piano reale una retta reale s ed una conica imma- 

 ginaria K S , che riterremo definita (') come coniugata alla conica reale K s rispetto 

 al punto interno 0, proponiamoci di costruire una rappresentazione armonica dei 

 due punti {K 8 , s) : denoti o la polare di rispetto a K s (e a K 2 ) pongasi 

 ^^(os), jp = |0$|, sieno A , B i due punti d' intersezione di K s con p, P il 

 polo di p rispetto a K s e q = \OP\ la polare di Q rispetto a K s ; ciò posto, la 

 conica reale K s , conjugata a K s rispetto a P, è conjugata ( 2 ) a K S rispetto a Q 

 e perciò denominati T, U i due punti ove K s sega s e posto R = (qs)i le inter- 

 sezioni di s con K S sono i punti doppi della involuzione \Q, R; T, TJ\ ed hanno 

 per rappresentazioni armoniche (QTBU) e (QURT). Se la trasversale passa per il 

 polo di conjugazione, le rappresentazioni armoniche dei due punti (K s ,p) sono 

 chiaramente (QAOB) , (QBOA). ( 3 ). (Fig. 1). 



Nella omologia armonica (A , b) , ( 4 ) alla retta s corrisponde la congiungente s' 

 di col punto (bs) , la quale segherà K s in due punti reali T\ U' ed avremo 



r=(|^T'|, S ), U={\AU'\,s). 



() C. C. pag. 194. 

 O C. C. pag. 193. 

 ( 3 ) 0. C. teor. XII. 



(') Indichiamo con (A,b) la collineazione iuvolutoria che ha A,b rispettivamente per centro 

 ed asse. 



