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2. Correlativamente, vogliansi costruire le due tangenti immaginarie coniugate 

 di una conica immaginaria K g s , uscenti dal punto reale S : posto g = | &Q\ , 

 P=(qo), sia Q il polo di q rispetto a K s , poniamo r = j$5| e denotiamo con 

 t, u le due tangenti che arrivano a K 8 dal punto 5; le tangenti immaginarie 

 cercate hanno per rappresentazioni armoniche (qtru) e (qurt) , ecc. 



3. Proponiamoci ora di determinare i due punti immaginari (non coniugati) 

 d' intersezione di una conica K s con una retta immaginaria di prima specie g i ( l ). 

 Sia (Fig. 2) Z il punto reale di g i , questa retta sia definita, come di consueto, 

 mediante una involuzione ellittica di raggi, che chiameremo la involuzione Z , ed 

 un senso determinato : la involuzione (Z) delle polari armoniche rispetto a K 2 e la 

 involuzione ellittica Z hanno una coppia comune, necessariamente reale, che denote- 

 remo con x,y; e se a, b è la coppia, pure necessariamente reale, che appartiene 

 alla involuzione Z e separa armonicamente x, y, potremo ritenere la involuzione Z 

 come definita dalle due coppie ar, y ; a, b e (xayb) , (xbya) saranno rappresentazioni 

 armoniche dei raggi immaginari conjugati g. , g*. Ciò posto, detta z la polare di Z 

 rispetto a K 2 , sarà (xyz) , (XYZ) il triangolo armonico delle due coniche K 8 , Z s 

 e se X è il vertice, di esso triangolo, pel quale passano le corde reali comuni 

 a K 2 , Z~ i sieno K x s , Z x s le coniche ordinatamente conjugate a K s ì Z s , rispetto 

 ad X, x ', le corde reali comuni alle due ultime coniche son le corde reali comuni 

 a K x S i Z x s concorrenti in X: ma ZJ è la coppia di rette reali «, 5, (~) laonde 

 le rette che uniscono X coi due punti reali C t , D t ove a sega K x $ , sono le due 

 corde reali comuni a K s e alla conica degenere Z 2 costituita dalle due rette im- 

 maginarie conjugate g {ì g*. 



Se poniamo 



c = |X<7,|, d = \XD t \ 

 (ex) == G , (dx)==D 



(cb) = C s , (db) = D, 



la retta g { : segherà K 2 nei due punti c(xayb) , d(xbya) ossia nei due punti 



U f = (X^CCT) , V. = (XD t DD s ) 



(') Hanno già date altre soluzioni di questo problema: lo Smith (1. e. pag. 124-1251, il Lii- 

 koth (1. e. N. 49-50, pag. 1S1-183), il Sig. Hofmann (1. e. § 17, pag. 7G-79) e il Dott. Ciir. Beyel 

 (1. e. pag. 36-o9). La soluzione sopra indicata mi fu suggerita dal processo additato dal Profes- 

 sor Wieneij (1. e. Bd. I, § 409 e seg.) per la determinazione delle corde comuni a due coniche, 

 mediante l'uso delle coniche conjugate; tale processo, applicabile anche se una o entrambe le 

 coniche date sono immaginarie conduce, nel caso particolare in cui una di essa sia un cerchio 

 immaginario, a soluzioni molto semplici ed eleganti per tutti i problemi concernenti gli assi, i 

 piani ciclici, lo rette focali ecc. dei coni quadrici. 



( 2 ) V. la mia Nota : Sulle coniche covjugate degeneri (Rend. di quest' Acc, Aprile 1887). 



