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immaginario circoscritto a K 2 ed avente in (?,, G* due vertici opposti. „ Sieno (Fig. 5) 

 X, Y i due punti, necessariamente reali, coniugati nella involuzione ellittica z, 

 che definisce G n G*, e reciproci rispetto a K 8 ; sieno inoltre A, B ì due punti, 

 pure necessariamente reali, coniugati nella involuzione z e separati armonicamente 

 da X, Y: potremo ritenere per rappresentazioni armoniche di G ( , Gf ordinata- 

 mente (XAYB) e (XBYA); detto Z il polo di z rispetto a K 2 , il triangolo 

 XYZ(xyz) è autoconiugato rispetto a K 2 , z s e, se x è il lato che contiene i due 

 vertici opposti reali del quadrilatero cercato, costruiamo le coniche K x 2 , z r 2 ordi- 

 natamente coniugate a R 2 , z s rispetto all' asse z. La zj degenera nella coppia di 

 punti reali A , B , laonde se da questi due punti conduciamo le tangenti a K 9 , 

 i vertici posti sopra x, del quadrilatero reale formato da esse tangenti, costituiscono 

 la coppia di vertici opposti reali del quadrilatero cercato - — li chiameremo M, N. 

 — Il risultato precedente si verifica agevolmente anche con 1' osservare che le 

 due tangenti immaginarie condotte a K 2 dal punto (XAYB) sono M(XAYB) = u t 

 ed X(XAYB) = v { , le due che arrivano a E s dal punto G* sono M(XBYA) = uf 

 ed N(XBYA) = v*, e le due tangenti, immaginarie coniugate, condotte a K 2 da 

 M sono i raggi doppi della involuzione ellittica M\X Ì Y\ A, B\. 



12. Le polari a , V di A, B rispetto a K s sono, rispetto a K x 9 , ordinatamente 

 polari di B, A (') e perciò le tangenti reali che arrivano a K x 2 da A, B sono i 

 raggi che da A , B ordinatamente proiettano le due coppie di punti reali (K x 2 , b) 

 e (KJ % a) '• del resto si evita 1' impiego della K 2 con la costruzione correlativa 

 di quella indicata in fine al N. 3. 



13. Se un quadrilatero immaginario up,*vp* è circoscritto a una conica 

 reale o immaginaria, esso ha un trilatero diagonale reale, coniugato alla conica, 

 e sopra ogni lato di questo i due vertici opposti del quadrilatero sono separati 

 armonicamente dai due vertici del trilatero. 



14. Costruiamo ora (Fig. 6) il parallelogrammo isotropo circoscritto ad una ellisse 

 immaginaria K 2 , che supporremo definita al solito come coniugata (complemen- 

 tare) all' ellisse reale K 2 di centro Z: è chiaro che X, Y sono i punti all'infinito 

 degli assi di K 2 e A , B i punti all' infinito delle bisettrici degli angoli degli assi 

 medesimi ; si riconosce facilmente che i due vertici reali del parallelogrammo 

 cercato giacciono sul piccolo asse x di K s e, siccome (K/) a _ è la iperbole K 2 , ( s ) 

 i punti M, N fuochi reali della ellisse immaginaria K 2 sono i punti del piccolo 

 asse di K 2 d' onde arrivano alla iperbole K 2 coppie di tangenti ortogonali. De- 

 notando con a , ò(< a) le lunghezze dei semiassi della ellisse reale E 2 , i fuochi 

 reali di K s son dunque sul piccolo asse dell' ellisse coniugata e distano dal centro 

 Z per ± \/a 2 • — b 2 . 



Le tangenti che arrivano a K 2 dal punto ciclico C?° = (XAYB) sono 



(') G. C. XIII. 

 C) C. C. pag. 193. 



