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I due punti A', B' sono ordinatamente i poli di a, b rispetto a K s , e i due 

 Y, X sono i poli di x, y\ le due coppie Z, X; J.', P/, che definiscono la invo- 

 luzione z avente G ( G* per punti doppi, sono dunque polari reciproche , rispetto 

 a K s , delle due coppie x , y ; a , b che definiscono la involuzione Z i cui raggi 

 doppi sono </,, g* e, siccome una involuzione quadratica è definita da due coppie 

 di elementi conjugati, ne segue che se di due raggi conjugati nella involuzione Z 

 prendiamo i poli, rispetto a K s , otteniamo due punti conjugati nella involuzione z. 

 Se abbiamo dunque nel piano di una conica K s , una retta immaginaria di prima 

 specie g ( , le polari, rispetto a K s , del sostegno, della involuzione e del senso che 

 definiscono #,-, sono ordinatamente il sostegno, la involuzione ed il senso che defi- 

 niscono il polo immaginario G t di g t , rispetto a K s . 



Considerazioni duali alle precedenti conducono alla definizione e alla costru- 

 zione della polare di un punto immaginario, rispetto a una conica. Se un punto 

 immaginario G { ha per sostegno la retta reale 2, la polare g i di G { rispetto a una 

 conica K s . ha per sostegno il polo Z di z, rispetto a K s ; la involuzione ed il 

 senso che definiscono g t sono i polari reciproci, rispetto a K s della involuzione e 

 del senso che definiscono G t . La polare g, : è la congiungente di Z col conjugato 

 armonico di G ( rispetto ai due punti (K s z) ('). — Le polari, rispetto a K s , di 

 due punti immaginari conjugati sono due rette di prima specie immaginarie 

 conjugate. 



19. Come applicazione, determiniamo le polari dei punti ciclici rispetto ad una 

 conica E s : se K s è un ellisse reale o un' iperbole acutangola , condotti gli assi 

 a , b e i diametri equiconjugati a', b\ le rappresentazioni armoniche delle polari 

 cercate sono (aa'bb'), (ab'ba) ; se K s è un ellisse immaginario oppure una iperbole 

 ottusangola basta costruire, nel modo ora detto, le polari dei punti ciclici rispetto 

 alla conica complementare ( 2 ). 



20- Denotiamo con P ( il punto immaginario della retta g t avente p per sostegno, 

 poniamo cioè Pj= jp{xayb) : la polare p 4 di P 8 -, rispetto a K s ha per rappi-esen- 

 tazione armonica P(YA'XB') ossia è una retta immaginaria di prima specie pas- 

 sante pel punto (XB'YA') polo di g i rispetto a K s . Se dunque un punto imma- 

 ginario appartiene ad una retta immaginaria di prima specie, la polare del punto, 

 rispetto ad una conica, reale o immaginaria, passa pel polo della retta. Correlati- 

 vamente : se una retta immaginaria di prima specie passa per un punto immagi- 

 nario, il polo immaginario della inetta giace sulla polare immaginaria del punto. 



(') Ognuno degli oo 2 raggi r t passanti per G t sega la conica in due punti immaginari non 

 conjugati, i quali sono separati armonicamente dai due punti 67 ,-, (ngi). Nella seconda parte di 

 questo lavoro saranno date per le polari immaginarie costruzioni assai semplici e comode in pra- 

 tica, sebbene non lineari. (V. la Nota al N. seg.). 



( ! ) Se K 2 è iperbole e da un punto arbitrario P di un suo assintoto e, conduciamo la paral- 

 lela g all'altro assintoto /', il punto-circolo P segna sulla bisettrice della striscia (fg) due punti 

 immaginari conjugati i quali sono projettati dal centro (ef) secondo le polari dei punti ciclici 

 rispetto all' iperbole. 



