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 triangolo con le polari dei vertici opposti giacciono sulla polare p di P rispetto 

 a K s ; le ulteriori intersezioni di K s con le rette |^4Pj, |-^-P|j \CP\i le quali de- 

 noteremo con A', P', C sono i quarti armonici dopo BOA, CAB , ABC e perciò 

 gli elementi del covariante cubico della forma binaria cubica rappresentata su K* 

 dai tre punti A , P , C ; infine i due punti , immaginari conjugati , nei quali p 

 sega K s sono gli Hessiani della cubica: ciò rammentato, proponiamoci di costruire 

 la polare di un triangolo AB t B* inscritto in una conica reale, ed avente due ver- 

 tici immaginari conjugati. 



Sia o il sostegno (Fig. 12) dei due punti 2?,., P,*, ed il polo di o rispetto a K s : 

 se a è la tangente a K s in A ed (od) ^ P, la conica K s coniugata a K 2 rispetto a P, 

 segherà o in due punti reali B t , B s e, posto (op) ^ Q, potremo assumere (PBjQB^, 

 (PB^QBj) per rappresentazioni armoniche di P,, B* ; le tangenti immaginarie di K~ ì 

 nei punti B n B* sono rappresentate da 0{PB 1 QB s ) e 0(PB s QB J ) . I due fasci 

 A{PB t QB^) , 0(PB s QB d ) sono progettivi perchè armonici e prospettivi per avere il 

 raggio unito |^L(?|, se dunque poniamo 



(|ABJ,|0P S |)==GV, (1^,1,10^1) = ^ 



i tre punti P, C ± , C s sono sulla retta h che è separata armonicamente da o me- 

 diante A ed e, posto (Ajj) ^ P , il gruppo armonico PC JIC,, è sezione comune 

 dei due fasci A{PB 1 QB S )^ 0(PB & QB 1 ) ì ossia le due rette \AB { \ e &,* segansi nel 

 punto immaginario {PC JÌC^ . Analogamente . le due rette ! AB* ' e b* segansi 

 in (PCgBCj) e perciò i tre punti 



QBA*\,a), (|^P,|,Ò,*), (\AB*\,b,) 



sono bulla retta h. Abbiamo così il teorema: se un triangolo inscritto in una 

 conica reale ha due vertici immaginari conjugati, le tangenti nei vertici segano i 

 lati opposti in tre punti, due dei quali immaginari conjugati, posti in linea retta ; 

 questa retta è separata armonicamente dal sostegno dei vertici immaginari, mediante 

 il vertice reale ed il polo del sostegno rispetto alla conica. 



Ne segue la più semplice soluzione del problema : dati sopra una conica reale 

 tre punti, dei quali due immaginari conjugati, costruire gli Hessiani della binaria 

 cubica avente per elementi i tre punti ; gli elementi del covariante Hessiano sono 

 i due punti reali ne' quali la conica è segata dalla retta separata armonicamente 

 dal sostegno dei due elementi immaginari, mediante l'elemento reale e il polo 

 del sostegno ('). 



(') Cfr. Schròter — Th. der Oberflachen 2. 0. nella nota a pag. 277-79 (Leipzig 1880). 



