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 hanno per centro di omologia il punto F' , conjugato armonico di F rispetto 

 ad S t1 S s ; ma il fascio F'{A 1 B 1 ....), projettivo alla punteggiata s(AB....) sega s 

 nella punteggiata s(A'B'....) projettiva ad s(AB....) ed il punto A' = ( i A t A s \, s) è 

 il quarto armonico dopo EFA , dunque ecc. 



b) Se nel piano di una retta immaginaria di prima specie g tì di sostegno S, 

 conduciamo per un punto, diverso da S, due raggi arbitrari r, r ed il raggio r o1 

 conjugato armonico di \S, (rr')\ rispetto ad r,r'; il punto immaginario (r o g t ) è 

 conjugato armonico di S rispetto ai due punti (rg^ , (r'gj. (Fig. 14). 



Infatti, posto (ri-') = A , | AS\ = a, sia {aba t b t ) la rappresentazione armonica 

 di g t , uscente da a, e poniamo 



(rb) = B, (ra,)==A t , (rb,) = B i 



(r b) = 5'°», {r o a t ) = ^W, (r.i,) = B™ 

 {rb)==B\ (ra t )==A;, (r'i,) == B/ : 



i tre punti (rg t ) , {r o g^ , (r'g t ) avranno rispettivamente per rappresentazioni armoniche 



(ABA.B,) , (iBWi/'lU/') , (AB'A/B,') ; 



le due rette |.fi'i?J, |-6/i^| segansi in J. l0) e, posto 



Csd^j.fl), D = (|5/3|,a), 



denotiamo con A ( il punto immaginario (ACSD). Nel quadrangolo completo ^4J,4 i ^l i (0) 

 i due lati opposti | AA t | , | J 4 i J. i (0) | passano per £ ; i due lati opposti j AA t {0) | , | 4 i ^,| 

 passano per (r g}) , perchè (J. i 5 o |, |^L i J5 i (0 '| passano rispettivamente per C,Z>; il 

 quinto lato I-4.4J passa per (rg,) ed il sesto |J. i ,0) J. i | per (r'gi), dunque ecc. ('). 

 e) Se nel piano di una retta immaginaria g t -, di sostegno S ì conduciamo 

 per un punto A quattro raggi armonici m 1 m s m 3 m 4 , il punto (»?,</,) è conjugato 

 armonico ad (m s g,) rispetto ai due punti (m^g,), (m 4 g t ) ( 2 ). (Fig. 16). 



(') LiiROTH — 1. c. N. 37. 



( 8 ) Più generalmente se m l , m„ , m 3 , m 4 , g it g*, sono sei raggi di un medesimo fascio di seconda 

 classe, il rapporto anarmonico dei quattro punti (m,^) ,.... (m^g^ eguaglia quello dei quattro 

 raggi m 1 ....m i . Nella seconda parte di questo lavoro sarà mostrato che, in taluni casi, le costru- 

 zioni geometriche relative a quaderne di punti immaginari, con rapporto anarmonico reale, pos- 

 sono ridursi a costruzioni relative a quaderne di punti reali situati in una circonferenza: per es. 

 la costruzione del punto immaginario che con tre punti immaginari dati forma in un ordine 

 assegnato un gruppo di dato rapporto anarmonico reale X , si riduce a quella del punto che con 

 tre punti reali forma sulla circonferenza passante per essi il rapporto anarmonico X. In parti- 

 colare, le costruzioni delle forme armoniche immaginarie, cui si perviene per questa via, sono più 

 comode, nella pratica, di quelle indicate nella citata Memoria dello Smith (1. e. Art. 5). 



