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 e quindi per la prima si ha anche 



a$X x -+- bdY y -\ h hdX y =d(p(a, b,... h) . 



Moltiplicando per di ed integrando si deducono di qua le relazioni corrispon- 

 denti per 1' intero corpo, che poi trasformate mediante le forinole (4), (4) a , (5), (6) 

 danno 



(I) fl{Wu)dt ■+-f2(X n du)d(y = — df(p{a, &,... h)dt , 

 (I) a ZÌI (udF)dT-hJz (udXJda = — djìp (*,■&,... h)dx , 



(II) f ^{Fu)dr -+-f 2(Xu)da = — 2 foia, b,... h)dt , 



(ili) fz(Fii)dT -+-fi,(xy)do = —fo( a a > ' \ '""■# W =f^(F'u)dt-+-fz(x t ;u)d(T, 



dove il segno 2 sta ad indicare che al termine scritto vanno aggiunti i due ana- 

 loghi relativi alle altre due componenti. 



La prima di queste relazioni, mediante 1' eguaglianza dell' espressione trasfor- 

 mata del lavoro virtuale di deformazione per un sistema qualsiasi (du, dv, dio) 

 alla variazione corrispondente dell' energia di deformazione dell' intero corpo, ritra- 

 duce ancora il principio dell' energia da cui si è partiti ; mentre la seguente (I) a 

 dà una nuova espressione di eguaglianza per la stessa variazione di energia. 



La (II) fa conoscere il valore dell' energia totale di deformazione /<^(a, b r .. h)dt 



in funzione degli elaterii e degli spostamenti. L' ultima infine rappresenta una legge 

 di reciprocità, che riferita al caso dell' equilibrio e poste per gli elaterii le forze 

 esterne si riduce ad un noto teorema dato dal Betti. (') 



Ma può ben darsi che anche senza 1' azione di forze esterne , in virtù della 

 connessione fra le diverse parti del corpo, queste si trovino in un certo stato di 

 mutua costrizione, e che quindi non si verifichi la condizione supposta preceden- 

 temente, che cioè nello stato S o gli elementi del corpo sieno tutti allo stato natu- 

 rale e le tensioni nulle. 



Si potrebbe cercare di ridurre ancora la questione al caso precedente per via 

 di decomposizione sostituendo al corpo o sistema dato la considerazione di più. 



(') V. Teoria dell' elasticità nel Nuovo Cimento, Serie II, T. VI, VII, IX, X. 



