— 356 — 



Diremo che una funzione di campo è continua , se dando alla funzione o alle 

 funzioni da cui dipende delle variazioni arbitrarie ma inferiori in valore assoluto 

 ad un numero k , la variazione corrispondente di essa funzione può coli' impic- 

 colire di k rendersi minore di ogni quantità data. 



Supposta dunque una funzione continua $ dipendente dalla funzione £ data 

 nel campo a , e presa a considerare una porzione a p di campo che formi 1' intorno 

 di un punto p , s' immagini data a 2j dentro a p una variazione continua A£ dap- 

 pertutto di ugual segno ed inferiore in valore assoluto ad un numero k. Se A$ 

 è la corrispondente variazione della $ , e si pone 



f A^da = e , 



(Oj, 



qualora per tutte le variazioni possibili A£ esista un limite determinato e finito 

 del rapporto 



£ 



per k ed o p tendenti a zero, diremo col Volterra che il detto limite rappresenta 

 la derivata della $ nel punto p . — Questa derivata , eh' io chiamerò pure derivata 

 di campo, dipenderà dalla posizione di p e dai valori della £ , sarà cioè funzione 

 di campo della § e funzione della posizione del punto. 



Per una funzione $ dipendente da più funzioni si potrà parlare allo stesso 

 modo delle sue derivate parziali di campo rispetto a ciascuna di esse. 



Questa definizione della derivata di campo concorda con quella a cui si giunge 

 ponendosi come qui faremo sotto un punto di vista semplicissimo, che consiste nel 

 riguardare una funzione di campo come il limite di una funzione di un numero 

 finito di variabili. Posta come sopra la continuità della $ , immaginiamo il campo a 

 diviso in un gran numero n di parti, ed ammettiamo che coli' ingrandire di n e con 

 una conveniente distribuzione delle parti si possa far sì che in ciascuna parte e? , 

 dove la £ non è costantemente uguale a zero , abbia dappertutto lo stesso segno 

 e la sua oscillazione o differenza fra il massimo e minimo valore risulti inferiore 

 ad un dato numero k . Se ora si suppone di sostituire dappertutto in a al valore 

 variabile § il valore medio | dato da 



Z* P=,fe' 



da 



e si chiama $ i il valore modificato che ne risulta per la funzione $, la diffe- 

 renza $ — O i potrà coli' impiccolire di k ossia col crescere di n , rendersi inferiore 

 a qualunque quantità data. Si è condotti così a riguardare la <I> come il limite 



