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Incomincerò dall' applicazione al teorema del Castigliano intorno alle derivate 

 del lavoro. Per questo osservo che alla predetta doppia dipendenza del lavoro di 

 deformazione fanno riscontro le due diverse espressioni della sua variazione che si 

 desumono dalle (I) e (I) a ; la prima delle quali riguardando gli elaterii come 

 funzioni degli spostamenti, darà la variazione del lavoro considerato come funzione 

 degli spostamenti, e la seconda riguardando gli spostamenti come funzioni degli 

 elaterii, darà la variazione del lavoro stesso considerato come funzione degli elaterii. 

 E dalla forma di esse espressioni, avuto riguardo a quanto si è detto di sopra, si 

 conclude subito intanto che : le derivate di campo del lavoro di deformazione , dato 

 come funzione detjli spostamenti , prese rispetto agli spostamenti , sono per ogni punto 

 dell' interno e della superficie ugnali e di segno contrario agli elaUrii corrispondenti; e 

 le derivate di campo dello stesso lavoro, dato in funzione degli elaterii, rispetto agli 

 elaterii, sono uguali e di segno contrario agli spostamenti. 



Riferendoci ad una porzione elementare o del volume o della superficie del 

 corpo, e notando che il prodotto degli elaterii (forze unitarie) per o rappresenta 

 le forze effettive esercitate siili' elemento considerato, è chiaro dopo quanto precede 

 che la stessa proposizione può enunciarsi dicendo che : le derivate del lavoro 

 rispetto agli spostamenti dell' elemento danno gli elaterii effettivi agenti su di esso, 

 e le derivate rispetto agli elaterii effettivi danno gli spostamenti. Così 1' enunciato 

 è ricondotto alle derivate ordinarie, e può applicarsi anche al caso di forze finite 

 agenti su punti (caso limite di forze la cui azione si concentra in una regione 

 ristretta), come p. es. quando si tratta di un corpo deformato sotto 1' azione di 

 forze esterne applicate in determinati punti della sua superficie. 



Supponendo adunque il volume e la superficie del corpo divisi in tante por- 

 zioni elementari, e prendendo d' ora innanzi ad indicare col simbolo comune -q una 

 qualunque delle componenti degli elaterii effettivi sia interni che superficiali relativi 

 a ciascuna porzione, e con u una qualunque delle componenti degli spostamenti, 

 potremo scrivere più semplicemente 1' espressione del doppio del lavoro di defor- 

 mazione dato dalla (II) sotto la forma 



— 2 M , 



intendendo che il segno 2 , oltre alla somma per le tre componenti , stia ora ad 

 indicare anche la sommatoria a tutte le parti elementari di volume e di superficie, 

 che rimpiazza in generale il simbolo d' integrazione, e si riduce poi ad un numero 

 finito di termini quando le ^ si annullino dappertutto salvo che in punti separati, 

 dove poi allora giusta le dichiarazioni precedenti avranno un valore finito. Le due 

 espressioni della variazione di esso lavoro date dalle (I) , (I) a prendono così la 

 forma 



— 2 [ydu] , — 2 [udy\ ; 



