— 359 — - 

 -e la doppia proposizione precedente, indicando semplicemente con $(?<) e ^(jp) il 

 lavoro di deformazione dato rispettivamente in funzione degli spostamenti o degli 

 elaterii, si traduce in generale nelle forinole 



(VII, ?£> = „, 



Riferendoci al caso dell' equilibrio e poste per gli elaterii le forze esterne con 

 segno cangiato, avremo così che : le derivate del lavoro di deformazione dato per gli 

 spostamenti, rispetto agli spostamenti dei diversi punti, sono uguali alle forze esterne 

 applicate ai medesimi punti {elementi) ; e le derivate di esso lavoro dato in funzione 

 delle forze esterne , rispetto alle forze applicate ai diversi punti, danno gli spostamenti 

 rispettivi. 



È questo il teorema del Castigliano che egli dimostrò per il caso di un sistema 

 articolato, e poi generalizzò senz' altro supponendo che un corpo qualunque possa 

 riguardarsi come il limite di un sistema articolato, i cui vertici corrisponderebbero 

 alle molecole del corpo, e le tensioni delle aste di collegamento, alle forze inter- 

 molecolari. — La deduzione che se ne è data qui, oltre alla sua generalità, ha 

 il vantaggio di determinarne esattamente il significato in ogni caso. Da essa appare 

 che quando si tratta di forze esercitate in punti isolati, nel qual caso 1' espressione 

 del lavoro si riduce ad un numero finito di termini , 1' enunciato del teorema si 

 riferisce direttamente alle forze effettive applicate ai singoli punti. Quando invece 

 si tratta di distribuzione continua di forze , sia agenti sulla massa degli elementi 

 del corpo, sia sulla sua superficie, il teorema va riferito alle forze esercitate sopra 

 porzioni elementari a di volume o di superficie (intorno del punto p che si con- 

 sidera) ovvero alle forze unitarie che risultano da quelle dividendo per a . La 

 considerazione degli elaterii in luogo delle forze esterne dà poi al teorema stesso 

 un carattere più intrinseco. 



Si può notare che la l a parte (VII) non rappresenta in fondo che 1' espressione 

 ordinaria della proprietà caratteristica del potenziale (energia potenziale) di un 

 sistema, secondo la quale le sue derivate prese negativamente danno le frrze svi- 

 luppate nel sistema. L'altra parte (VII) o , riguardando la funzione che rappresenta 

 il lavoro di deformazione come il limite di una forma quadratica di un numero 

 finito di variabili, si presenta quale conseguenza della prima, in virtù di una nota 

 proprietà delle forme quadratiche reciproche : appunto come si hanno le relazioni 

 reciproche (9) e (9) a fra le deformazioni elementari e le tensioni. 



Fra le applicazioni più dirette del teorema in questione vi ha quella di servire 

 al calcolo degli spostamenti dei punti del corpo o sistema, qualora si conosca in 



