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Colla prima di queste, introducendo le forze esterne, si viene nell'ipotesi del- 

 l' esistenza di un potenziale P di esse forze, al minimo di $ -+- P di cui sopra. 

 Ma è da notare che 2 [qdu] può riguardarsi in ogni caso come l' espressione di 

 un lavoro esterno prodotto o di uno sviluppo virtuale di energia esterna per parte 

 del sistema; e poiché 1' espressione non contiene che quantità inerenti al sistema 

 stesso, la variazione indotta ha un significato autonomo che persiste anche prescin- 

 dendo dalle forze esterne e dalla condizione di equilibrio. Lo stesso vale per 

 1' altra forma. 



Ciò che si è detto della variazione ridotta sta a significare in generale un 

 minimo del lavoro $ in senso ridotto, quale cioè si avrebbe facendo astrazione dalla 

 parte corrispondente all' energia estrinsecata. Ne segue poi in particolare che si 

 avrà un minimo propriamente di esso lavoro rispetto a tutti quei cangiamenti che 

 non importano estrinsecazione di energia ; che cioè $ sarà un minimo nello stato S 

 rispetto a tutti gli stati vicini S' tali che il passaggio da S a S' non sia collegato 

 con uno sviluppo di energia esterna. Onde, specializzando, si avrà un minimo di $ 

 (o dell' energia E) subordinato alle condizioni 



2[^ w ] = e 2[udy] = 0. 



Lasciando la prima, con la quale si resta all' ordinaria equazione del poten- 

 ziale, fermiamoci più particolarmente all' altra, tenendo presente che l' equazione 

 cui essa si riferisce vale tanto per variazioni congruenti come per variazioni non 

 congruenti. E quanto alle variazioni congruenti ricordiamo che a dati elaterii (rj) 

 corrisponde un sistema unico e determinato di spostamenti , e che perciò ogni si- 

 stema di variazioni (du) importa necessariamente qualche variazione degli elaterii ; 

 onde supponendo dati gli elaterii in tutti i punti, non è possibile nessuna varia- 

 zione congruente compatibile con quei valori. Non è più così quando si tratta di 

 variazioni non congruenti, colle quali non si considera più tutto il sistema colla 

 propria compagine ma le singole parti di esso riguardate come indipendenti, es- 

 sendo possibile allora la considerazione di diversi stati variati corrispondenti agli 

 stessi elaterii, cioè tali che tutte le dt? sieno uguali a zero. Allora però non si 

 può parlar più di spostamenti dei punti del corpo nel suo insieme, né il lavoro di 

 deformazione può più riguardarsi come funzione degli spostamenti o degli elaterii, 



ma semplicemente come la somma o integrale i<p(a , b y ...)dx dei lavori relativi 



agli elementi del corpo considerati partitamente. 



Quest' avvertenza è necessaria per fissare chiaramente il significato del teorema 

 del Menabrea, quale lo si suole enunciare, che cioè : è un minimo il lavoro svilup- 

 pato nella deformazione di un corpo qualsiasi sotto V azione di date forze esterne. Poiché 

 se s' intendono date le forze esterne (o gli elaterii) in tutti i punti (ritenendo dato 

 il valore zero dove non è applicata alcuna forza), nessun sistema (du) è possibile; 



