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 formano un quadrilatero completo due lati opposti del quale s' intersecano nel punto B 

 e le altre dice paja di lati opposti s' intersecano nella polare del punto B : ovvero le 

 sei rette che congiungono due a due i quattro punti d' intersecazione di due coniche 

 qualunque della serie di coniche k t e la polare del punto B sono i quattro lati e le 

 tre diagonali di un quadrilatero completo. 



Scelte ad arbitrio due coniche k r e k s della serie di coniche k t le quali do- 

 vranno intersecarsi in due rette PBP\ QBQ' passanti pel punto B si avranno 

 due sistemi di tre coniche k rì k s1 k' e k rì k s , k" in ciascuno dei quali due co- 

 niche k r e k s sono a doppio contatto colla terza e per un teorema noto in ciascuno 

 dei due sistemi le corde del contatto e un pajo delle corde d' intersecazione pas- 

 sano per un medesimo punto e formano un fascio armonico, perciò le due corde 

 d' intersecazione BP e BQ formano un fascio armonico e colle rette del contatto delle 

 k r e k s colla k' e con quelle del contatto delle medesime due coniche k r e k s colla k" . 



24. Le polari p di un punto P(a@y) rispetto alle coniche k t sono rappre- 

 sentate dall' equazione 



p) l( — lax ■+■ m(3y -+- nyz)A s — 2ln(yx ■+- az)X -+- n(lax -+- mfiij — nyz) = : 



se si cerca l' inviluppo di queste polari che variano col valore X si ottiene l' equazione 



k p ) (la s -+- nf)(lx s -+- nz s ) — m s $ s tf = , 



che può assumere 1' una e 1' altra forma 



(la s -+- ny s )(lx s -f- my s -+- nz s ) — {la } -+- mfl s -+- ny s )my s = , 

 (la s ■+■ ny s ){lx s — mtf -+- nz s ) -+- (la 2 — m@ s ■+- ny 2 )mxf = , 



e rappresenta una conica a doppio contatto colle coniche k' e k" nei punti di 

 contatto di queste coniche. Le due polari del punto P rispetto alle coniche k' e k" 

 hanno per equazione 



lax dz mfiy -+- nyz = , 



se per mezzo di questa si elimina dall' equazione (k p ) la y risulta 



(yx — azf = ; 



perciò la conica (k p ) è anche a contatto delle polari del punto P rispetto alle 

 coniche k' e i"; onde V inviluppo delle polari rispetto alle coniche k' , k" , k t di un 

 punto qualsivoglia P del loro piano è una conica a doppio contatto colle coniche k' e le" 

 nei punti nei quali queste si toccano. 



